Resolva o seguinte sistema linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você me passou. A matéria que estamos mexendo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, métodos para resolver sistemas de equações. Para isso, vamos usar a eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar as equações até encontrar os valores das variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso facilita a visualização das equações e as operações que vamos fazer. Nossa matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal temos apenas zeros. Começamos pela primeira coluna.
- Linha 2: Subtraímos 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
- Linha 3: Adicionamos 3 vezes a Linha 1 à Linha 3.
- Linha 4: Subtraímos a Linha 1 da Linha 4.
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 4
Continuando, vamos agora trabalhar com a segunda coluna para zerar os elementos abaixo dela.
- Linha 3: Subtraímos 2 vezes a Linha 2 da Linha 3.
- Linha 4: Adicionamos
vezes a Linha 2 à Linha 4.(35)
Depois dessas operações, a matriz fica:
Passo 5
Agora, vamos focar na terceira coluna para zerar os elementos abaixo dela.
- Linha 4: Subtraímos
vezes a Linha 3 da Linha 4.(68)
A matriz fica então:
Passo 6
Agora que temos a matriz em forma triangular superior, podemos resolver as variáveis de baixo para cima.
- Linha 4:
→-165w = 325 w = -2 - Linha 3:
→8z + 12w = -3 →8z + 12(-2) = -3 →8z -24 = -3 →8z = 21 z = 218 - Linha 2:
→-5y + 5z -4w = 2 →-5y + 5(218) -4(-2) = 2 →-5y + 1058 +8 = 2 →-5y = 2 - 1058 -8 →-5y = 168 - 1058 - 648 →-5y = -1538 y = 15340 - Linha 1:
→x + 2y - z + w = 1 →x + 2(15340) - 218 + (-2) = 1 →x + 30640 - 10540 -2 =1 →x + 20140 -2 =1 →x =1 +2 - 20140 →x =3 - 20140 x = 12040 - 20140 = -8140
Resposta
As soluções do sistema são: