Resolva o seguinte sistema linear.
l x+2 y-z+w=1 2 x-y+3 z-2 w=4 -3 x+4 y+z+w=-2 x-y+2 z+3 w=5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que você me passou. A matéria que estamos mexendo aqui é Álgebra Linear, mais especificamente, métodos para resolver sistemas de equações. Para isso, vamos usar a eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar as equações até encontrar os valores das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada. Isso facilita a visualização das equações e as operações que vamos fazer. Nossa matriz aumentada fica assim:
1 & 2 & -1 & 1 & | & 1 2 & -1 & 3 & -2 & | & 4 -3 & 4 & 1 & 1 & | & -2 1 & -1 & 2 & 3 & | & 5

Passo 3

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para transformar essa matriz em uma forma triangular, onde abaixo da diagonal principal temos apenas zeros. Começamos pela primeira coluna.
  • Linha 2: Subtraímos 2 vezes a Linha 1 da Linha 2.
  • Linha 3: Adicionamos 3 vezes a Linha 1 à Linha 3.
  • Linha 4: Subtraímos a Linha 1 da Linha 4.
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 2 & -1 & 1 & | & 1 0 & -5 & 5 & -4 & | & 2 0 & 10 & -2 & 4 & | & 1 0 & -3 & 3 & 2 & | & 4

Passo 4

Continuando, vamos agora trabalhar com a segunda coluna para zerar os elementos abaixo dela.
  • Linha 3: Subtraímos 2 vezes a Linha 2 da Linha 3.
  • Linha 4: Adicionamos (35) vezes a Linha 2 à Linha 4.
Depois dessas operações, a matriz fica:
1 & 2 & -1 & 1 & | & 1 0 & -5 & 5 & -4 & | & 2 0 & 0 & 8 & 12 & | & -3 0 & 0 & 6 & 25 & | & 145

Passo 5

Agora, vamos focar na terceira coluna para zerar os elementos abaixo dela.
  • Linha 4: Subtraímos (68) vezes a Linha 3 da Linha 4.
A matriz fica então:
1 & 2 & -1 & 1 & | & 1 0 & -5 & 5 & -4 & | & 2 0 & 0 & 8 & 12 & | & -3 0 & 0 & 0 & -165 & | & 325

Passo 6

Agora que temos a matriz em forma triangular superior, podemos resolver as variáveis de baixo para cima.
  • Linha 4: -165w = 325 w = -2
  • Linha 3: 8z + 12w = -3 8z + 12(-2) = -3 8z -24 = -3 8z = 21 z = 218
  • Linha 2: -5y + 5z -4w = 2 -5y + 5(218) -4(-2) = 2 -5y + 1058 +8 = 2 -5y = 2 - 1058 -8 -5y = 168 - 1058 - 648 -5y = -1538 y = 15340
  • Linha 1: x + 2y - z + w = 1 x + 2(15340) - 218 + (-2) = 1 x + 30640 - 10540 -2 =1 x + 20140 -2 =1 x =1 +2 - 20140 x =3 - 20140 x = 12040 - 20140 = -8140

Resposta

As soluções do sistema são:
x = -dfrac8140 y = dfrac15340 z = dfrac218 w = -2

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