Resolva o seguinte sistema linear usando a regra de Cramer

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. A gente tem três equações com três incógnitas ( , e ). A Regra de Cramer é uma técnica que utiliza determinantes de matrizes para achar os valores das incógnitas. Para isso, precisamos montar a matriz dos coeficientes, calcular o determinante dela e os determinantes das matrizes que substituem cada coluna pelos termos constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das variáveis em cada equação:
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna representa uma variável ( , , ).

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz , que vamos chamar de . O determinante nos ajuda a verificar se o sistema tem solução única. Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
Vamos calcular passo a passo:
Somando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular os determinantes , e , que são as matrizes formadas substituindo, respectivamente, as colunas de , e pelos termos constantes do sistema (ou seja, os números do lado direito das equações).

Calculando :

Substituímos a coluna de pelos termos constantes:
Calculando o determinante de :
Simplificando:

Calculando :

Substituímos a coluna de pelos termos constantes:
Calculando o determinante de :
Simplificando:

Calculando :

Substituímos a coluna de pelos termos constantes:
Calculando o determinante de :
Simplificando:

Passo 5

Com os determinantes , , e calculados, podemos aplicar a Regra de Cramer para encontrar as soluções das incógnitas:

Resposta

A solução do sistema é:

Exercícios relacionados

Dada a matriz , calcule sua matriz adjunta
Seja . Prove que é ortogonal. Conclua que .
Calcule o determinante de cada matriz.
Resolva o seguinte sistema linear:
pelo método de Cramer