Resolva o seguinte sistema linear usando a regra de Cramer
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. A gente tem três equações com três incógnitas (, e ). A Regra de Cramer é uma técnica que utiliza determinantes de matrizes para achar os valores das incógnitas. Para isso, precisamos montar a matriz dos coeficientes, calcular o determinante dela e os determinantes das matrizes que substituem cada coluna pelos termos constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das variáveis em cada equação:
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna representa uma variável (, , ).
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz , que vamos chamar de . O determinante nos ajuda a verificar se o sistema tem solução única. Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
Vamos calcular passo a passo:
Somando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular os determinantes , e , que são as matrizes formadas substituindo, respectivamente, as colunas de , e pelos termos constantes do sistema (ou seja, os números do lado direito das equações).
Calculando :
Substituímos a coluna de pelos termos constantes:
Calculando o determinante de :
Simplificando:
Calculando :
Substituímos a coluna de pelos termos constantes:
Calculando o determinante de :
Simplificando:
Calculando :
Substituímos a coluna de pelos termos constantes:
Calculando o determinante de :
Simplificando:
Passo 5
Com os determinantes , , e calculados, podemos aplicar a Regra de Cramer para encontrar as soluções das incógnitas: