Resolva o seguinte sistema linear usando a regra de Cramer
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. A gente tem três equações com três incógnitas (, e ). A Regra de Cramer é uma técnica que utiliza determinantes de matrizes para achar os valores das incógnitas. Para isso, precisamos montar a matriz dos coeficientes, calcular o determinante dela e os determinantes das matrizes que substituem cada coluna pelos termos constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das variáveis em cada equação:
A = 1 & 4 & -1 2 & -1 & 2 3 & -2 & -1
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna representa uma variável (, , ).
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz De, que vamos chamar de De. O determinante nos ajuda a verificar se o sistema tem solução única. Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
Vamos calcular passo a passo:
Somando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular os determinantes Ax = 4 & 4 & -1 3 & -1 & 2 0 & -2 & -1 , De e De, que são as matrizes formadas substituindo, respectivamente, as colunas de Ay = 1 & 4 & -1 2 & 3 & 2 3 & 0 & -1 , De e De pelos termos constantes do sistema (ou seja, os números do lado direito das equações).
Calculando Az = 1 & 4 & 4 2 & -1 & 3 3 & -2 & 0 :
Substituímos a coluna de De pelos termos constantes:
De
Calculando o determinante de :
Simplificando:
Calculando :
Substituímos a coluna de pelos termos constantes:
Calculando o determinante de :
Simplificando:
Calculando :
Substituímos a coluna de pelos termos constantes:
Calculando o determinante de :
Simplificando:
Passo 5
Com os determinantes x = De, y = De, z = De e calculados, podemos aplicar a Regra de Cramer para encontrar as soluções das incógnitas: