Seja . Prove que é ortogonal. Conclua que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado nos pede. Temos a matriz :
O objetivo é provar que é uma matriz ortogonal. Além disso, precisamos concluir que o inverso de é igual à sua transposta, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como verificar essa propriedade.

Passo 2

Uma matriz ortogonal é uma matriz quadrada cuja transposta é igual à sua inversa. Em outras palavras, uma matriz é ortogonal se satisfaz:
onde é a matriz identidade.
Para provar que é ortogonal, precisamos calcular o produto e verificar se o resultado é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos começar calculando a transposta de , que é obtida trocando as linhas pelas colunas:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar por :
Vamos calcular cada elemento dessa matriz resultante.

Passo 5

Vamos calcular o elemento da primeira linha e primeira coluna:
Este já é o elemento da diagonal principal, conforme esperado na matriz identidade.

Passo 6

Vamos calcular o elemento da primeira linha e segunda coluna:
Como esse elemento é zero, ele coincide com a matriz identidade, que tem zeros fora da diagonal principal.

Passo 7

Continuando, calculamos o elemento da primeira linha e terceira coluna:
Novamente, obtemos zero, confirmando a estrutura da matriz identidade.

Passo 8

Vamos verificar o restante dos elementos, mas seguindo o mesmo processo, todos os elementos fora da diagonal principal resultarão em zero, e os elementos da diagonal principal serão iguais a 1.
Portanto, concluímos que:

Resposta

A matriz é ortogonal, e seu inverso é igual à sua transposta, ou seja, .

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prove que .
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