Primeiro, vamos entender o que o enunciado nos pede. Temos a matriz :
O objetivo é provar que é uma matriz ortogonal. Além disso, precisamos concluir que o inverso de é igual à sua transposta, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como verificar essa propriedade.
Passo 2
Uma matriz ortogonal é uma matriz quadrada cuja transposta é igual à sua inversa. Em outras palavras, uma matriz é ortogonal se satisfaz:
onde é a matriz identidade.
Para provar que é ortogonal, precisamos calcular o produto e verificar se o resultado é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos começar calculando a transposta de , que é obtida trocando as linhas pelas colunas:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar por :
Vamos calcular cada elemento dessa matriz resultante.
Passo 5
Vamos calcular o elemento da primeira linha e primeira coluna:
Este já é o elemento da diagonal principal, conforme esperado na matriz identidade.
Passo 6
Vamos calcular o elemento da primeira linha e segunda coluna:
Como esse elemento é zero, ele coincide com a matriz identidade, que tem zeros fora da diagonal principal.
Passo 7
Continuando, calculamos o elemento da primeira linha e terceira coluna:
Novamente, obtemos zero, confirmando a estrutura da matriz identidade.
Passo 8
Vamos verificar o restante dos elementos, mas seguindo o mesmo processo, todos os elementos fora da diagonal principal resultarão em zero, e os elementos da diagonal principal serão iguais a 1.
Portanto, concluímos que:
Resposta
A matriz é ortogonal, e seu inverso é igual à sua transposta, ou seja, .