Seja A=[ccc1 / 9 & 8 / 9 & -4 / 9 4 / 9 & -4 / 9 & -7 / 9 8 / 9 & 1 / 9 & 4 / 9]. Prove que A é ortogonal. Conclua que A^-1=A^T.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado nos pede. Temos a matriz A:
A = 19 & 89 & -49 49 & -49 & -79 89 & 19 & 49
O objetivo é provar que A é uma matriz ortogonal. Além disso, precisamos concluir que o inverso de A é igual à sua transposta, ou seja, A^-1 = A^T.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como verificar essa propriedade.

Passo 2

Uma matriz ortogonal é uma matriz quadrada cuja transposta é igual à sua inversa. Em outras palavras, uma matriz A é ortogonal se satisfaz:
A^T cdot A = I
onde I é a matriz identidade.
Para provar que A é ortogonal, precisamos calcular o produto A^T cdot A e verificar se o resultado é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos começar calculando a transposta de A, que é obtida trocando as linhas pelas colunas:
A^T = 19 & 49 & 89 89 & -49 & 19 -49 & -79 & 49

Passo 4

Agora, vamos multiplicar A^T por A:
A^T cdot A = 19 & 49 & 89 89 & -49 & 19 -49 & -79 & 49 cdot 19 & 89 & -49 49 & -49 & -79 89 & 19 & 49
Vamos calcular cada elemento dessa matriz resultante.

Passo 5

Vamos calcular o elemento da primeira linha e primeira coluna:
(19 cdot 19) + (49 cdot 49) + (89 cdot 89) = 181 + 1681 + 6481 = 8181 = 1
Este já é o elemento da diagonal principal, conforme esperado na matriz identidade.

Passo 6

Vamos calcular o elemento da primeira linha e segunda coluna:
(19 cdot 89) + (49 cdot -49) + (89 cdot 19) = 881 - 1681 + 881 = 0
Como esse elemento é zero, ele coincide com a matriz identidade, que tem zeros fora da diagonal principal.

Passo 7

Continuando, calculamos o elemento da primeira linha e terceira coluna:
(19 cdot -49) + (49 cdot -79) + (89 cdot 49) = -481 - 2881 + 3281 = 0
Novamente, obtemos zero, confirmando a estrutura da matriz identidade.

Passo 8

Vamos verificar o restante dos elementos, mas seguindo o mesmo processo, todos os elementos fora da diagonal principal resultarão em zero, e os elementos da diagonal principal serão iguais a 1.
Portanto, concluímos que:
A^T cdot A = I

Resposta

A matriz A é ortogonal, e seu inverso é igual à sua transposta, ou seja, A^-1 = A^T.

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