Se possível, resolva a equação matricial: A^t X=A B, onde X é uma coluna 2 times 1 e:
(a) A=[ll-2 & 1 -3 & 3] e B=[l-1 -1]
(b) A=[cc40 & 120 80 & 80] e B=[l160 200]

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação matricial . Aqui, é a transposta da matriz , é uma coluna que queremos encontrar, e também é uma coluna . Vamos precisar usar multiplicação de matrizes e resolver sistemas de equações lineares.

Parte (a)

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes dadas:
A = -2 & 1 -3 & 3
B = -1 -1

Passo 3

Vamos calcular a transposta de A^t = -2 & -3 1 & 3 , que é simplesmente trocar as linhas pelas colunas:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto A B = -2 & 1 -3 & 3 -1 -1 = (-2)(-1) + (1)(-1) (-3)(-1) + (3)(-1) = 2 - 1 3 - 3 = 1 0 :

Passo 5

Agora, a equação fica:
A^t X = 1 0
-2 & -3 1 & 3 x1 x2 = 1 0

Passo 6

Vamos escrever as equações resultantes:
-2x1 - 3x2 = 1 x1 + 3x2 = 0

Passo 7

Vamos resolver o sistema. Da segunda equação, podemos expressar x1 = -3x2 em termos de :

Passo 8

Substituímos -2(-3x2) - 3x2 = 1 na primeira equação:
6x2 - 3x2 = 1
3x2 = 1
x2 = 13

Passo 9

Agora, encontramos x1 = -3 ( 13 ) = -1 :

Passo 10

Agora, vamos para a parte (b). As matrizes são:
A = 40 & 120 80 & 80
B = 160 200

Passo 11

Calculamos a transposta de A^t = 40 & 80 120 & 80 :

Passo 12

Calculamos o produto A B = 40 & 120 80 & 80 160 200 = (40)(160) + (120)(200) (80)(160) + (80)(200) = 6400 + 24000 12800 + 16000 = 30400 28800 :

Passo 13

A equação fica:
A^t X = 30400 28800
40 & 80 120 & 80 x1 x2 = 30400 28800

Passo 14

Vamos escrever as equações resultantes:
40x1 + 80x2 = 30400 120x1 + 80x2 = 28800

Passo 15

Podemos simplificar as equações dividindo a primeira por 40 e a segunda por 40:
x1 + 2x2 = 760 3x1 + 2x2 = 720

Passo 16

Subtraindo a primeira equação da segunda:
(3x1 + 2x2) - (x1 + 2x2) = 720 - 760
2x1 = -40
x1 = -20

Passo 17

Agora, substituímos -20 + 2x2 = 760 na primeira equação:
2x2 = 780
x2 = 390

Resposta

A solução para X = -20 390 é:

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