Sejam
e
matrizes
inversíveis tais que
e
. Sabendo-se que
, então o determinante de
é igual a:
e.
e.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
, ambas inversíveis. Sabemos que o determinante da matriz
é
e que o determinante de
é
. Precisamos encontrar o determinante da matriz
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de determinantes e propriedades de matrizes inversas e transpostas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do determinante de
. Sabemos que:
Usando a propriedade de que o determinante de uma transposta é igual ao determinante da matriz original (
), podemos escrever:
Aqui,
vem do fato de que multiplicar uma matriz por um escalar
multiplica o determinante por
, onde
é a ordem da matriz.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
. Podemos fatorar
da expressão:
Usando a propriedade do determinante do produto de matrizes (
):
Sabemos que
e que
. Observamos que
, pois o determinante é invariante a transposição.
Portanto:
Passo 4
Voltando à expressão do determinante de
:
Podemos simplificar isso dividindo os expoentes de 3:
Resposta
O determinante de
é igual a
.