Sejam A e C matrizes n times n inversíveis tais que det(In+C^-1 A)=1 / 3 e det(A)=5. Sabendo-se que B=3(A^-1+C^-1)^T, então o determinante de B é igual a:
e. 5 cdot 3^n-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem , ambas inversíveis. Sabemos que o determinante da matriz é e que o determinante de é . Precisamos encontrar o determinante da matriz .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de determinantes e propriedades de matrizes inversas e transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do determinante de B = 3(A^-1 + C^-1)^T . Sabemos que:
det(B) = det(3(A^-1 + C^-1)^T) = 3^n det(A^-1 + C^-1)
Usando a propriedade de que o determinante de uma transposta é igual ao determinante da matriz original ( ), podemos escrever:
Aqui, vem do fato de que multiplicar uma matriz por um escalar multiplica o determinante por , onde é a ordem da matriz.

Passo 3

Agora, vamos encontrar A^-1 + C^-1 = A^-1(In + A C^-1) . Podemos fatorar det(A^-1 + C^-1) = det(A^-1) det(In + A C^-1) da expressão:
det(A^-1 + C^-1) = 15 times 13 = 115
Usando a propriedade do determinante do produto de matrizes ( ):
Sabemos que e que . Observamos que , pois o determinante é invariante a transposição.
Portanto:

Passo 4

Voltando à expressão do determinante de det(B) = 3^n times 115 = 3^n15 :
3^n15 = 3^n-1 times 315 = 3^n-15
Podemos simplificar isso dividindo os expoentes de 3:

Resposta

O determinante de é igual a .

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