Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
e.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem , ambas inversíveis. Sabemos que o determinante da matriz é e que o determinante de é . Precisamos encontrar o determinante da matriz .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de determinantes e propriedades de matrizes inversas e transpostas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do determinante de . Sabemos que:
Usando a propriedade de que o determinante de uma transposta é igual ao determinante da matriz original (), podemos escrever:
Aqui, vem do fato de que multiplicar uma matriz por um escalar multiplica o determinante por , onde é a ordem da matriz.
Passo 3
Agora, vamos encontrar . Podemos fatorar da expressão:
Usando a propriedade do determinante do produto de matrizes ():
Sabemos que e que . Observamos que , pois o determinante é invariante a transposição.
Portanto:
Passo 4
Voltando à expressão do determinante de :
Podemos simplificar isso dividindo os expoentes de 3: