Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
e.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem , ambas inversíveis. Sabemos que o determinante da matriz é e que o determinante de é . Precisamos encontrar o determinante da matriz .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de determinantes e propriedades de matrizes inversas e transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do determinante de . Sabemos que:
Usando a propriedade de que o determinante de uma transposta é igual ao determinante da matriz original ( ), podemos escrever:
Aqui, vem do fato de que multiplicar uma matriz por um escalar multiplica o determinante por , onde é a ordem da matriz.

Passo 3

Agora, vamos encontrar . Podemos fatorar da expressão:
Usando a propriedade do determinante do produto de matrizes ( ):
Sabemos que e que . Observamos que , pois o determinante é invariante a transposição.
Portanto:

Passo 4

Voltando à expressão do determinante de :
Podemos simplificar isso dividindo os expoentes de 3:

Resposta

O determinante de é igual a .

Exercícios relacionados

Se possível, resolva a equação matricial: , onde é uma coluna e:
(a) e
(b) e
Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por
e) Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não seja válidos.
Dada a matriz bases de e respectivamente, calcule a transformaçāo linear associada: . Calcule .
Mostre que o espaço é soma direta dos subespaços