Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz , caso ela exista. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinante e matriz adjunta. Vamos precisar calcular o determinante de para ver se a inversa existe e, se existir, seguir com os cálculos para encontrá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz A = 2 & 1 & 3 -1 & 2 & 0 3 & -2 & 1 é invertível. Para isso, precisamos calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa. A matriz é:
Passo 3
Vamos calcular o determinante de det A = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . Para uma matriz 3x3, o determinante ( a & b & c d & e & f g & h & i ) é dado por:
a = 2, b = 1, c = 3 d = -1, e = 2, f = 0 g = 3, h = -2, i = 1
Onde os elementos da matriz são:
No nosso caso:
Passo 4
Substituindo esses valores na fórmula do determinante:
Como o determinante A^-1 = 1det A cdot adj(A) é diferente de zero, a matriz tem inversa. Agora, vamos calcular a inversa usando a fórmula:
Onde é a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores.
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores. Cada elemento dessa matriz é chamado de cofator e é calculado removendo a linha e a coluna do elemento original e calculando o determinante da matriz resultante, multiplicado por Cof(1,1) = (-1)^1+1 cdot 2 & 0 -2 & 1 = 1 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot (-2)) = 2 , onde Cof(1,2) = (-1)^1+2 cdot -1 & 0 3 & 1 = -1 cdot (-1 cdot 1 - 0 cdot 3) = 1 e Cof(1,3) = (-1)^1+3 cdot -1 & 2 3 & -2 = 1 cdot (-1 cdot (-2) - 2 cdot 3) = 2 - 6 = -4 são a posição do elemento.
Vamos calcular os cofatores para cada elemento de Cof(2,1) = (-1)^2+1 cdot 1 & 3 -2 & 1 = -1 cdot (1 cdot 1 - 3 cdot (-2)) = -1 cdot (1 + 6) = -7 :