Dada a matriz A=[ccc2 & 1 & 3 -1 & 2 & 0 3 & -2 & 1], determinar:
A^-1, caso exista.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz , caso ela exista. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinante e matriz adjunta. Vamos precisar calcular o determinante de para ver se a inversa existe e, se existir, seguir com os cálculos para encontrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz A = 2 & 1 & 3 -1 & 2 & 0 3 & -2 & 1 é invertível. Para isso, precisamos calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa. A matriz é:

Passo 3

Vamos calcular o determinante de det A = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . Para uma matriz 3x3, o determinante ( a & b & c d & e & f g & h & i ) é dado por:
a = 2, b = 1, c = 3 d = -1, e = 2, f = 0 g = 3, h = -2, i = 1
Onde os elementos da matriz são:
No nosso caso:

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula do determinante:
det A = 2(2 cdot 1 - 0 cdot (-2)) - 1((-1) cdot 1 - 0 cdot 3) + 3((-1) cdot (-2) - 2 cdot 3)
Simplificando cada parte:
= 2(2 - 0) - 1(-1 - 0) + 3(2 - 6)
= 2 cdot 2 - 1 cdot (-1) + 3 cdot (-4)
= 4 + 1 - 12
= -7

Passo 5

Como o determinante A^-1 = 1det A cdot adj(A) é diferente de zero, a matriz tem inversa. Agora, vamos calcular a inversa usando a fórmula:
Onde é a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores.

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores. Cada elemento dessa matriz é chamado de cofator e é calculado removendo a linha e a coluna do elemento original e calculando o determinante da matriz resultante, multiplicado por Cof(1,1) = (-1)^1+1 cdot 2 & 0 -2 & 1 = 1 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot (-2)) = 2 , onde Cof(1,2) = (-1)^1+2 cdot -1 & 0 3 & 1 = -1 cdot (-1 cdot 1 - 0 cdot 3) = 1 e Cof(1,3) = (-1)^1+3 cdot -1 & 2 3 & -2 = 1 cdot (-1 cdot (-2) - 2 cdot 3) = 2 - 6 = -4 são a posição do elemento.
Vamos calcular os cofatores para cada elemento de Cof(2,1) = (-1)^2+1 cdot 1 & 3 -2 & 1 = -1 cdot (1 cdot 1 - 3 cdot (-2)) = -1 cdot (1 + 6) = -7 :
Cof(2,2) = (-1)^2+2 cdot 2 & 3 3 & 1 = 1 cdot (2 cdot 1 - 3 cdot 3) = 2 - 9 = -7
Cof(2,3) = (-1)^2+3 cdot 2 & 1 3 & -2 = -1 cdot (2 cdot (-2) - 1 cdot 3) = -1 cdot (-4 - 3) = 7
Cof(3,1) = (-1)^3+1 cdot 1 & 3 2 & 0 = 1 cdot (1 cdot 0 - 3 cdot 2) = 0 - 6 = -6
Cof(3,2) = (-1)^3+2 cdot 2 & 3 -1 & 0 = -1 cdot (2 cdot 0 - 3 cdot (-1)) = -1 cdot (0 + 3) = -3
Cof(3,3) = (-1)^3+3 cdot 2 & 1 -1 & 2 = 1 cdot (2 cdot 2 - 1 cdot (-1)) = 4 + 1 = 5

Passo 7

Agora, organizamos todos os cofatores na matriz dos cofatores:
Cofatriz(A) = 2 & 1 & -4 -7 & -7 & 7 -6 & -3 & 5
Em seguida, tiramos a transposta dessa matriz para obter a matriz adjunta:
adj(A) = 2 & -7 & -6 1 & -7 & -3 -4 & 7 & 5

Passo 8

Finalmente, multiplicamos a matriz adjunta pelo inverso do determinante para obter A^-1 = 1-7 cdot 2 & -7 & -6 1 & -7 & -3 -4 & 7 & 5 :
A^-1 = -27 & 1 & 67 -17 & 1 & 37 47 & -1 & -57
Isso resulta em:

Resposta

A matriz inversa de A^-1 = -27 & 1 & 67 -17 & 1 & 37 47 & -1 & -57 é:

Exercícios relacionados