Sejam e vetores em . Prove que um deles é múltiplo escalar do outro se, e somente se, para quaisquer .
Passo 1
Tá, vamos lá! A questão pede pra gente provar que um vetor é múltiplo escalar do outro se e somente se para quaisquer índices e , o produto é igual a . Isso envolve conceitos de vetores, múltiplos escalares e propriedades de igualdade. Vamos precisar entender o que significa um vetor ser múltiplo escalar de outro e trabalhar com essas igualdades.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que significa um vetor ser múltiplo escalar do outro. Dizemos que é múltiplo escalar de se existe um número real tal que:
Isso significa que cada componente de é igual ao correspondente de multiplicado por :
Passo 3
Primeiro, vamos provar a necessidade, ou seja, se é múltiplo escalar de , então para quaisquer .
Assumindo que , temos:
Multiplicando por :
E multiplicando por :
Como a multiplicação é comutativa (), temos:
Passo 4
Agora, vamos provar a suficiência, ou seja, se para quaisquer , então é múltiplo escalar de .
Vamos escolher um índice fixo, digamos . Para qualquer , temos:
Se , podemos isolar :
Isso mostra que cada componente é igual a , onde . Portanto:
O que confirma que é múltiplo escalar de .
Resposta
Assim, mostramos que um vetor é múltiplo escalar do outro se e somente se para quaisquer . Portanto, a afirmação está provada.