Sejam
e
vetores em
. Prove que um deles é múltiplo escalar do outro se, e somente se,
para quaisquer
.
Passo 1
Tá, vamos lá! A questão pede pra gente provar que um vetor é múltiplo escalar do outro se e somente se para quaisquer índices
e
, o produto
é igual a
. Isso envolve conceitos de vetores, múltiplos escalares e propriedades de igualdade. Vamos precisar entender o que significa um vetor ser múltiplo escalar de outro e trabalhar com essas igualdades.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que significa um vetor ser múltiplo escalar do outro. Dizemos que
é múltiplo escalar de
se existe um número real
tal que:
Isso significa que cada componente de
é igual ao correspondente de
multiplicado por
:
Passo 3
Primeiro, vamos provar a necessidade, ou seja, se
é múltiplo escalar de
, então
para quaisquer
.
Assumindo que
, temos:
Multiplicando
por
:
E multiplicando
por
:
Como a multiplicação é comutativa (
), temos:
Passo 4
Agora, vamos provar a suficiência, ou seja, se
para quaisquer
, então
é múltiplo escalar de
.
Vamos escolher um índice fixo, digamos
. Para qualquer
, temos:
Se
, podemos isolar
:
Isso mostra que cada componente
é igual a
, onde
. Portanto:
O que confirma que
é múltiplo escalar de
.
Resposta
Assim, mostramos que um vetor é múltiplo escalar do outro se e somente se
para quaisquer
. Portanto, a afirmação está provada.