Sejam u=(x1, x2, cdots, xn) e v=(y1, y2, cdots, yn) vetores em R^n. Prove que um deles é múltiplo escalar do outro se, e somente se, xi cdot yj=xj yi para quaisquer i, j in1,2, cdots, n.

Passo 1

Tá, vamos lá! A questão pede pra gente provar que um vetor é múltiplo escalar do outro se e somente se para quaisquer índices e , o produto é igual a . Isso envolve conceitos de vetores, múltiplos escalares e propriedades de igualdade. Vamos precisar entender o que significa um vetor ser múltiplo escalar de outro e trabalhar com essas igualdades.

Passo 2

Vamos começar entendendo o que significa um vetor ser múltiplo escalar do outro. Dizemos que u = lambda v é múltiplo escalar de xi = lambda yi para todo i se existe um número real tal que:
Isso significa que cada componente de é igual ao correspondente de multiplicado por :

Passo 3

Primeiro, vamos provar a necessidade, ou seja, se xi = lambda yi é múltiplo escalar de xj = lambda yj , então xi cdot yj = (lambda yi) cdot yj = lambda (yi yj) para quaisquer xj cdot yi = (lambda yj) cdot yi = lambda (yj yi) .
Assumindo que xi cdot yj = xj cdot yi , temos:
Multiplicando por :
E multiplicando por :
Como a multiplicação é comutativa ( ), temos:

Passo 4

Agora, vamos provar a suficiência, ou seja, se x1 cdot yj = xj cdot y1 para quaisquer xj = x1y1 yj , então u = lambda v é múltiplo escalar de .
Vamos escolher um índice fixo, digamos . Para qualquer , temos:
Se , podemos isolar :
Isso mostra que cada componente é igual a , onde . Portanto:
O que confirma que é múltiplo escalar de .

Resposta

Assim, mostramos que um vetor é múltiplo escalar do outro se e somente se para quaisquer . Portanto, a afirmação está provada.

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A^-1, caso exista.
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f) |A| cdot|B|(C-D)