Dada a matriz A=(cccc-2 & 3 & 1 & -11 0 & 1 & 2 & 3 1 & -1 & 1 & -2 4 & -3 & 5 & 1), faça o que se pede:
(i) Calcule det A usando o método de triangulação (=escalonamento)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem 4 e precisamos calcular o seu determinante usando o método de triangulação (também conhecido como escalonamento). Isso significa que vamos transformar a matriz em uma matriz triangular superior, ou seja, com zeros abaixo da diagonal principal. Depois disso, o determinante da matriz será o produto dos elementos da diagonal principal. Para isso, vamos realizar operações nas linhas da matriz sem alterar o valor do determinante.

Passo 2

Primeiro, observamos o elemento da primeira linha e primeira coluna, chamado de pivô, que é Linha 3 = Linha 3 + (1-2) times Linha 1 . Nosso objetivo é zerar todos os elementos abaixo desse pivô na mesma coluna. Vamos começar pela segunda linha.
  • Linha 2 já tem um zero na primeira coluna, então não precisamos fazer nada nela.
  • Linha 3 tem um Linha 3 = [1, -1, 1, -2] + (-0.5) times [-2, 3, 1, -11] = [1 + 1, -1 - 1.5, 1 - 0.5, -2 + 5.5] = [2, -2.5, 0.5, 3.5] na primeira coluna. Para zerar esse valor, usamos a seguinte operação:
    Linha 4 = Linha 4 + (4-2) times Linha 1 = Linha 4 - 2 times Linha 1
    Calculando:
    Linha 4 = [4, -3, 5, 1] - 2 times [-2, 3, 1, -11] = [4 + 4, -3 -6, 5 -2, 1 +22] = [8, -9, 3, 23]
  • Linha 4 tem um A = -2 & 3 & 1 & -11 0 & 1 & 2 & 3 0 & -2.5 & 0.5 & 3.5 0 & -9 & 3 & 23 na primeira coluna. Para zerar esse valor, fazemos:
    Calculando:
Agora, nossa matriz fica assim:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna, o número Linha 3 = Linha 3 + 2.5 times Linha 2 . Queremos zerar os elementos abaixo desse pivô na mesma coluna.
  • Linha 3 tem Linha 3 = [0, -2.5, 0.5, 3.5] + 2.5 times [0, 1, 2, 3] = [0, 0, 0.5 +5, 3.5 +7.5] = [0, 0, 5.5, 11] na segunda coluna. Para zerar, fazemos:
    Linha 4 = Linha 4 + 9 times Linha 2
    Calculando:
    Linha 4 = [0, -9, 3, 23] + 9 times [0, 1, 2, 3] = [0, 0, 3 +18, 23 +27] = [0, 0, 21, 50]
  • Linha 4 tem A = -2 & 3 & 1 & -11 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 5.5 & 11 0 & 0 & 21 & 50 na segunda coluna. Para zerar, fazemos:
    Calculando:
Agora, nossa matriz está assim:

Passo 4

Seguimos para o terceiro pivô, que está na terceira linha e terceira coluna, o número Linha 4 = Linha 4 - (215.5) times Linha 3 . Queremos zerar o elemento abaixo desse pivô na mesma coluna.
  • Linha 4 tem Linha 4 = [0, 0, 21, 50] - (215.5) times [0, 0, 5.5, 11] = [0, 0, 0, 50 - 42] = [0, 0, 0, 8] na terceira coluna. Para zerar, fazemos:
    A = -2 & 3 & 1 & -11 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 5.5 & 11 0 & 0 & 0 & 8
    Simplificando:
Agora, nossa matriz triangular superior fica:

Passo 5

Com a matriz triangular superior pronta, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos calcular:
det A = (-2) times 1 times 5.5 times 8
Fazendo as multiplicações:
det A = (-2) times 1 = -2 det A = -2 times 5.5 = -11 det A = -11 times 8 = -88

Resposta

det A = -88

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