Dada a matriz , faça o que se pede:
(i) Calcule usando o método de triangulação (=escalonamento)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem 4 e precisamos calcular o seu determinante usando o método de triangulação (também conhecido como escalonamento). Isso significa que vamos transformar a matriz em uma matriz triangular superior, ou seja, com zeros abaixo da diagonal principal. Depois disso, o determinante da matriz será o produto dos elementos da diagonal principal. Para isso, vamos realizar operações nas linhas da matriz sem alterar o valor do determinante.

Passo 2

Primeiro, observamos o elemento da primeira linha e primeira coluna, chamado de pivô, que é . Nosso objetivo é zerar todos os elementos abaixo desse pivô na mesma coluna. Vamos começar pela segunda linha.
  • Linha 2 já tem um zero na primeira coluna, então não precisamos fazer nada nela.
  • Linha 3 tem um na primeira coluna. Para zerar esse valor, usamos a seguinte operação:
    Calculando:
  • Linha 4 tem um na primeira coluna. Para zerar esse valor, fazemos:
    Calculando:
Agora, nossa matriz fica assim:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo pivô, que está na segunda linha e segunda coluna, o número . Queremos zerar os elementos abaixo desse pivô na mesma coluna.
  • Linha 3 tem na segunda coluna. Para zerar, fazemos:
    Calculando:
  • Linha 4 tem na segunda coluna. Para zerar, fazemos:
    Calculando:
Agora, nossa matriz está assim:

Passo 4

Seguimos para o terceiro pivô, que está na terceira linha e terceira coluna, o número . Queremos zerar o elemento abaixo desse pivô na mesma coluna.
  • Linha 4 tem na terceira coluna. Para zerar, fazemos:
    Simplificando:
Agora, nossa matriz triangular superior fica:

Passo 5

Com a matriz triangular superior pronta, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. Vamos calcular:
Fazendo as multiplicações:

Resposta

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