Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
Em R^3,(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional R^3: (1,1,1), (0,1,1) e (0,0,1). O objetivo é decidir se esse conjunto de vetores é linearmente independente. Para isso, precisamos saber o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente.

Passo 2

Linearmente independente significa que nenhum dos vetores do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Em outras palavras, se tivermos uma equação do tipo:
a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 = 0
onde v1, v2, e v3 são nossos vetores, a única solução para os coeficientes a, b, e c deve ser a = b = c = 0. Se houver outra solução, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos montar essa equação com nossos vetores:
a cdot (1,1,1) + b cdot (0,1,1) + c cdot (0,0,1) = (0,0,0)
Isso nos dá o sistema de equações:
a = 0 a + b = 0 a + b + c = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação: a = 0.
  2. Substituindo a = 0 na segunda equação: 0 + b = 0 Rightarrow b = 0.
  3. Substituindo a = 0 e b = 0 na terceira equação: 0 + 0 + c = 0 Rightarrow c = 0.

Passo 5

Como a única solução para o sistema é a = b = c = 0, isso significa que não existe combinação linear não trivial dos vetores que resulte no vetor nulo. Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto (1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) é linearmente independente em R^3.

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