Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional : , e . O objetivo é decidir se esse conjunto de vetores é linearmente independente. Para isso, precisamos saber o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente.

Passo 2

Linearmente independente significa que nenhum dos vetores do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Em outras palavras, se tivermos uma equação do tipo:
onde , , e são nossos vetores, a única solução para os coeficientes , , e deve ser . Se houver outra solução, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos montar essa equação com nossos vetores:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema:
  1. Da primeira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação: .
  3. Substituindo e na terceira equação: .

Passo 5

Como a única solução para o sistema é , isso significa que não existe combinação linear não trivial dos vetores que resulte no vetor nulo. Portanto, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

O conjunto é linearmente independente em .

Exercícios relacionados

Dada a matriz , faça o que se pede:
(i) Calcule usando o método de triangulação (=escalonamento)
Considere as matrizes: , e
Calcule quando possível, as seguintes matrizes:
Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
Sejam as matrizes e
Caso exista uma matriz nas condições dadas, calcule seu traço: