Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional : , e . O objetivo é decidir se esse conjunto de vetores é linearmente independente. Para isso, precisamos saber o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente.
Passo 2
Linearmente independente significa que nenhum dos vetores do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Em outras palavras, se tivermos uma equação do tipo:
onde , , e são nossos vetores, a única solução para os coeficientes , , e deve ser . Se houver outra solução, os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Vamos montar essa equação com nossos vetores:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema:
Da primeira equação: a = 0.
Substituindo a = 0 na segunda equação: 0 + b = 0 Rightarrow b = 0.
Substituindo a = 0 e b = 0 na terceira equação: 0 + 0 + c = 0 Rightarrow c = 0.
Passo 5
Como a única solução para o sistema é a = b = c = 0, isso significa que não existe combinação linear não trivial dos vetores que resulte no vetor nulo. Portanto, os vetores são linearmente independentes.
Resposta
O conjunto (1,1,1),(0,1,1),(0,0,1) é linearmente independente em R^3.