Resolva os sistemas abaixo (pelo método de Gauss-Jordan) escrevendo as matrizes ampliadas associadas aos novos sistemas. Reduza as matrizes ampliadas à forma escalonada reduzida, determine seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. lx+y+z=1, x-y+2 z=2, x+6 y+3 z=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. O sistema que temos é:
x + y + z = 1, x - y + 2z = 2, x + 6y + 3z = 3
Vamos precisar entender como montar a matriz aumentada, aplicar as operações do método de Gauss-Jordan para chegarmos à forma escalonada reduzida, determinar os postos das matrizes e verificar se o sistema tem solução. Se tiver, também vamos ver qual é o grau de liberdade.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Ficará assim:
1 & 1 & 1 & | & 1 1 & -1 & 2 & | & 2 1 & 6 & 3 & | & 3

Passo 3

Agora, vamos começar a reduzir essa matriz para a forma escalonada. Nosso objetivo é ter 1s na diagonal principal e 0s abaixo e acima deles. Vamos usar operações de linha para conseguir isso.
Primeiro, vamos eliminar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna. Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira linhas:
  • Linha 2: Linha 2 - Linha 1 → (1-1)=0, (-1-1)=-2, (2-1)=1, (2-1)=1
  • Linha 3: Linha 3 - Linha 1 → (1-1)=0, (6-1)=5, (3-1)=2, (3-1)=2
A matriz fica:
1 & 1 & 1 & | & 1 0 & -2 & 1 & | & 1 0 & 5 & 2 & | & 2

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Para isso, dividimos a segunda linha por -2:
  • Linha 2: (0)/−2=0, (-2)/−2=1, (1)/−2=−0.5, (1)/−2=−0.5
A matriz atualizada:
1 & 1 & 1 & | & 1 0 & 1 & -0.5 & | & -0.5 0 & 5 & 2 & | & 2

Passo 5

Vamos agora eliminar o 5 que está abaixo do 1 na segunda coluna na terceira linha. Para isso, fazemos:
  • Linha 3: Linha 3 - 5 × Linha 2 → 0, 5 - 5×1=0, 2 - 5×(-0.5)=2 + 2.5=4.5, 2 - 5×(-0.5)=2 + 2.5=4.5
A matriz fica:
1 & 1 & 1 & | & 1 0 & 1 & -0.5 & | & -0.5 0 & 0 & 4.5 & | & 4.5

Passo 6

Agora, vamos simplificar a terceira linha para que o coeficiente de z seja 1. Dividimos a terceira linha por 4.5:
  • Linha 3: 0, 0, 4.5/4.5=1, 4.5/4.5=1
A matriz atualizada:
1 & 1 & 1 & | & 1 0 & 1 & -0.5 & | & -0.5 0 & 0 & 1 & | & 1

Passo 7

Agora, vamos eliminar os termos acima do 1 na terceira coluna. Primeiro, ajustamos a segunda linha:
  • Linha 2: Linha 2 + 0.5 × Linha 3 → 0, 1, -0.5 + 0.5×1=0, -0.5 + 0.5×1=0
E depois a primeira linha:
  • Linha 1: Linha 1 - Linha 3 → 1, 1, 1-1=0, 1-1=0
A matriz fica:
1 & 1 & 0 & | & 0 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & | & 1

Passo 8

Por fim, vamos eliminar o 1 que está na segunda coluna da primeira linha. Fazemos:
  • Linha 1: Linha 1 - Linha 2 → 1, 0, 0, 0
A matriz escalonada reduzida fica:
1 & 0 & 0 & | & 0 0 & 1 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & | & 1

Passo 9

Agora que temos a matriz na forma escalonada reduzida, podemos identificar as soluções do sistema. A matriz representa as equações:
x = 0, y = 0, z = 1

Resposta

A solução do sistema é:
x = 0, y = 0, z = 1

Resumo dos Postos

  • Posto da matriz aumentada: 3
  • Posto da matriz dos coeficientes: 3
Como os postos são iguais e iguais ao número de incógnitas, o sistema é determinado e possui uma solução única, sem graus de liberdade.

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