Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da hipérbole de vértices e assíntotas ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole com alguns dados específicos: os vértices estão em e as assíntotas são dadas por . Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a equação geral de uma hipérbole e como identificar seus componentes principais, como os vértices e as assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma hipérbole centralizada na origem com vértices ao longo do eixo x é:
Aqui, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado às assíntotas da hipérbole.

Passo 3

Sabemos que os vértices estão em , então a distância é 15. Vamos substituir na fórmula:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de . Para isso, vamos usar as equações das assíntotas. As assíntotas de uma hipérbole são dadas por:
No nosso caso, as assíntotas são . Vamos rearranjar para a forma padrão:
Comparando com a fórmula das assíntotas da hipérbole, temos:

Passo 5

Como já sabemos que , podemos substituir na equação acima para encontrar :

Passo 6

Agora que temos os valores de e , podemos completar a equação da hipérbole:

Passo 7

Para esboçar o gráfico da hipérbole, vamos seguir algumas etapas:
  1. Desenhar os vértices: Pontos em .
  2. Desenhar as assíntotas: Linhas retas com equações e .
  3. Traçar os ramos da hipérbole: Eles se aproximam das assíntotas à medida que se afastam do centro (origem).

Resposta

A equação da hipérbole é:
E o esboço do gráfico apresenta uma hipérbole com vértices em e assíntotas nas retas e .

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Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
;
Dada a matriz , faça o que se pede:
(ii) Calcule usando o método da expansão de Laplace.
Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
Agora, considere o sistema linear
(iv) Resolva o sistema linear usando (calculada em (iii))