Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da hipérbole de vértices
e assíntotas
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole com alguns dados específicos: os vértices estão em
e as assíntotas são dadas por
. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a equação geral de uma hipérbole e como identificar seus componentes principais, como os vértices e as assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma hipérbole centralizada na origem com vértices ao longo do eixo x é:
Aqui,
é a distância do centro aos vértices, e
está relacionado às assíntotas da hipérbole.
Passo 3
Sabemos que os vértices estão em
, então a distância
é 15. Vamos substituir na fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de
. Para isso, vamos usar as equações das assíntotas. As assíntotas de uma hipérbole são dadas por:
No nosso caso, as assíntotas são
. Vamos rearranjar para a forma padrão:
Comparando com a fórmula das assíntotas da hipérbole, temos:
Passo 5
Como já sabemos que
, podemos substituir na equação acima para encontrar
:
Passo 6
Agora que temos os valores de
e
, podemos completar a equação da hipérbole:
Passo 7
Para esboçar o gráfico da hipérbole, vamos seguir algumas etapas:
- Desenhar os vértices: Pontos em
. - Desenhar as assíntotas: Linhas retas com equações
e . - Traçar os ramos da hipérbole: Eles se aproximam das assíntotas à medida que se afastam do centro (origem).
Resposta
A equação da hipérbole é:
E o esboço do gráfico apresenta uma hipérbole com vértices em
e assíntotas nas retas
e
.