Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da hipérbole de vértices e assíntotas ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole com alguns dados específicos: os vértices estão em e as assíntotas são dadas por . Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a equação geral de uma hipérbole e como identificar seus componentes principais, como os vértices e as assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma hipérbole centralizada na origem com vértices ao longo do eixo x é:
Aqui, é a distância do centro aos vértices, e está relacionado às assíntotas da hipérbole.
Passo 3
Sabemos que os vértices estão em , então a distância é 15. Vamos substituir na fórmula:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor de . Para isso, vamos usar as equações das assíntotas. As assíntotas de uma hipérbole são dadas por:
No nosso caso, as assíntotas são . Vamos rearranjar para a forma padrão:
Comparando com a fórmula das assíntotas da hipérbole, temos:
Passo 5
Como já sabemos que , podemos substituir na equação acima para encontrar :
Passo 6
Agora que temos os valores de e , podemos completar a equação da hipérbole:
Passo 7
Para esboçar o gráfico da hipérbole, vamos seguir algumas etapas:
Desenhar os vértices: Pontos em .
Desenhar as assíntotas: Linhas retas com equações e .
Traçar os ramos da hipérbole: Eles se aproximam das assíntotas à medida que se afastam do centro (origem).
Resposta
A equação da hipérbole é:
E o esboço do gráfico apresenta uma hipérbole com vértices em e assíntotas nas retas e .