Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da hipérbole de vértices ( pm 15,0) e assíntotas 5 y= pm 4 x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole com alguns dados específicos: os vértices estão em (pm15, 0) e as assíntotas são dadas por 5y = pm4x. Para resolver isso, vamos precisar saber como funciona a equação geral de uma hipérbole e como identificar seus componentes principais, como os vértices e as assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma hipérbole centralizada na origem com vértices ao longo do eixo x é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Aqui, a é a distância do centro aos vértices, e b está relacionado às assíntotas da hipérbole.

Passo 3

Sabemos que os vértices estão em (pm15, 0), então a distância a é 15. Vamos substituir na fórmula:
x^215^2 - y^2b^2 = 1 Rightarrow x^2225 - y^2b^2 = 1

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor de b. Para isso, vamos usar as equações das assíntotas. As assíntotas de uma hipérbole são dadas por:
y = pm bax
No nosso caso, as assíntotas são 5y = pm4x. Vamos rearranjar para a forma padrão:
y = pm 45x
Comparando com a fórmula das assíntotas da hipérbole, temos:
ba = 45

Passo 5

Como já sabemos que a = 15, podemos substituir na equação acima para encontrar b:
b15 = 45 Rightarrow b = 15 times 45 = 12

Passo 6

Agora que temos os valores de a e b, podemos completar a equação da hipérbole:
x^2225 - y^2144 = 1

Passo 7

Para esboçar o gráfico da hipérbole, vamos seguir algumas etapas:
  1. Desenhar os vértices: Pontos em (pm15, 0).
  2. Desenhar as assíntotas: Linhas retas com equações y = 45x e y = -45x.
  3. Traçar os ramos da hipérbole: Eles se aproximam das assíntotas à medida que se afastam do centro (origem).

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^2225 - y^2144 = 1
E o esboço do gráfico apresenta uma hipérbole com vértices em (pm15, 0) e assíntotas nas retas y = 45x e y = -45x.

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