Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes: ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que está pedindo para provar que um conjunto de vetores é linearmente dependente. O conteúdo aqui é sobre dependência linear de vetores. Para mostrar isso, precisamos encontrar uma combinação linear dos vetores que resulte no vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes não é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Se temos vetores e , uma combinação linear deles é dada por:
Nosso objetivo é encontrar valores para e que não sejam ambos zero e que satisfaçam essa equação.
Passo 3
Vamos substituir os vetores dados na equação:
Isso gera o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Observamos que as duas primeiras equações são idênticas, o que já indica que há dependência. Vamos resolver uma delas:
Agora, escolhemos um valor para . Vamos pegar , então .
Passo 5
Com esses valores, substituímos na terceira equação para confirmar:
Tudo se confirma!
Resposta
Os vetores e são linearmente dependentes porque existe uma combinação linear não trivial (, ) que resulta no vetor zero.