Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está pedindo para provar que um conjunto de vetores é linearmente dependente. O conteúdo aqui é sobre dependência linear de vetores. Para mostrar isso, precisamos encontrar uma combinação linear dos vetores que resulte no vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Se temos vetores e , uma combinação linear deles é dada por:
Nosso objetivo é encontrar valores para e que não sejam ambos zero e que satisfaçam essa equação.

Passo 3

Vamos substituir os vetores dados na equação:
Isso gera o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Observamos que as duas primeiras equações são idênticas, o que já indica que há dependência. Vamos resolver uma delas:
Agora, escolhemos um valor para . Vamos pegar , então .

Passo 5

Com esses valores, substituímos na terceira equação para confirmar:
Tudo se confirma!

Resposta

Os vetores e são linearmente dependentes porque existe uma combinação linear não trivial ( , ) que resulta no vetor zero.

Exercícios relacionados

Dada a matriz , faça o que se pede:
(ii) Calcule usando o método da expansão de Laplace.
Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da parábola com vértice na origem e foco ;
Fixado um sistema de coordenadas cartesiano, escreva a equação e esboce o gráfico: da hipérbole de vértices e assíntotas ;
Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes: