Mostre que os seguintes conjuntos de vectores sâo linearmente dependentes:
Em R^3, v1=(1,1,2), v2=(2,2,4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está pedindo para provar que um conjunto de vetores é linearmente dependente. O conteúdo aqui é sobre dependência linear de vetores. Para mostrar isso, precisamos encontrar uma combinação linear dos vetores que resulte no vetor zero, onde pelo menos um dos coeficientes não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma combinação linear. Se temos vetores c1 v1 + c2 v2 = 0 e , uma combinação linear deles é dada por:
Nosso objetivo é encontrar valores para e que não sejam ambos zero e que satisfaçam essa equação.

Passo 3

Vamos substituir os vetores dados na equação:
c1 (1, 1, 2) + c2 (2, 2, 4) = (0, 0, 0)
Isso gera o seguinte sistema de equações:
c1 cdot 1 + c2 cdot 2 = 0 c1 cdot 1 + c2 cdot 2 = 0 c1 cdot 2 + c2 cdot 4 = 0

Passo 4

Observamos que as duas primeiras equações são idênticas, o que já indica que há dependência. Vamos resolver uma delas:
c1 + 2c2 = 0 implies c1 = -2c2
Agora, escolhemos um valor para . Vamos pegar , então .

Passo 5

Com esses valores, substituímos na terceira equação para confirmar:
(-2) cdot 2 + 1 cdot 4 = -4 + 4 = 0
Tudo se confirma!

Resposta

Os vetores e são linearmente dependentes porque existe uma combinação linear não trivial ( , ) que resulta no vetor zero.

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