Dada a matriz A=(cccc2 & 3 & 1 & -2 5 & 3 & 1 & 4 0 & 1 & 2 & 2 3 & -1 & -2 & 4) calcule
b) tildea14 e tildea31

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício onde nos é dada a matriz e precisamos calcular os elementos e . Esse problema está relacionado ao estudo de matrizes e cofatores na álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o cofator de um elemento específico em uma matriz, o que envolve calcular o determinante de uma matriz menor (chamada de menor) e considerar o sinal apropriado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um cofator. O cofator de um elemento tildeaij = (-1)^i+j cdot det(Mij) em uma matriz é dado por:
onde é a matriz que resulta de remover a -ésima linha e a -ésima coluna da matriz original , e é o determinante dessa matriz menor.

Passo 3

Vamos começar calculando A = 2 & 3 & 1 & -2 5 & 3 & 1 & 4 0 & 1 & 2 & 2 3 & -1 & -2 & 4 , que é o cofator do elemento na 1ª linha e 4ª coluna da matriz .
Primeiro, identificamos o elemento na matriz :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos formar a matriz menor M14 = 5 & 3 & 1 0 & 1 & 2 3 & -1 & -2 removendo a 1ª linha e a 4ª coluna de det(M14) = 5 cdot (1 cdot (-2) - 2 cdot (-1)) - 3 cdot (0 cdot (-2) - 2 cdot 3) + 1 cdot (0 cdot (-1) - 1 cdot 3) :
det(M14) = 5 cdot (-2 + 2) - 3 cdot (0 - 6) + 1 cdot (0 - 3) = 5 cdot 0 - 3 cdot (-6) + 1 cdot (-3) = 0 + 18 -3 = 15
Em seguida, calculamos o determinante de :

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula do cofator:
tildea14 = (-1)^1+4 cdot det(M14) = (-1)^5 cdot 15 = -1 cdot 15 = -15

Passo 6

Vamos agora calcular a31 = 0 , que é o cofator do elemento na 3ª linha e 1ª coluna da matriz .
Primeiro, identificamos o elemento na matriz :

Passo 7

Formamos a matriz menor M31 = 3 & 1 & -2 3 & 1 & 4 -1 & -2 & 4 removendo a 3ª linha e a 1ª coluna de det(M31) = 3 cdot (1 cdot 4 - 4 cdot (-2)) - 1 cdot (3 cdot 4 - 4 cdot (-1)) + (-2) cdot (3 cdot (-2) - 1 cdot (-1)) :
det(M31) = 3 cdot (4 + 8) - 1 cdot (12 + 4) + (-2) cdot (-6 + 1) = 3 cdot 12 - 1 cdot 16 + (-2) cdot (-5) = 36 - 16 + 10 = 30
Calculamos o determinante de :

Passo 8

Aplicamos a fórmula do cofator:
tildea31 = (-1)^3+1 cdot det(M31) = (-1)^4 cdot 30 = 1 cdot 30 = 30

Resposta

tildea14 = -15 e tildea31 = 30

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