Mostre que o conjunto de todas as matrizes 2 X 2, triangulares superiores, com as operações usuais de adição de matrizes e de multiplicação escalar é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 que são triangulares superiores forma um espaço vetorial sobre os números reais R. Isso significa que, com as operações normais de adição de matrizes e multiplicação por escalar, esse conjunto precisa obedecer a todas as regras (ou axiomas) de um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são esses axiomas e verificar se eles são satisfeitos por essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. Uma matriz 2 times 2 é triangular superior se os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Ela tem a seguinte forma:
a & b 0 & d
onde a, b e d são números reais. Agora, vamos considerar o conjunto de todas essas matrizes e verificar se ele é um espaço vetorial.

Passo 3

Para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa satisfazer os seguintes axiomas:
  1. Fechamento sob adição: A soma de duas matrizes triangulares superiores deve ser triangular superior.
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz triangular superior por um número real, o resultado também deve ser triangular superior.
  3. Existência do elemento neutro: Deve existir uma matriz triangular superior que, quando somada a qualquer outra, não a altera (a matriz zero).
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada matriz triangular superior, deve existir outra matriz triangular superior que, quando somadas, resultam na matriz zero.
  5. Associatividade e comutatividade da adição, distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e escalares, e compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares.
Vamos verificar cada um desses pontos.

Passo 4

1. Fechamento sob adição:
Seja A = a & b 0 & d e B = e & f 0 & h duas matrizes triangulares superiores. Sua soma é:
A + B = a+e & b+f 0+0 & d+h = a+e & b+f 0 & d+h
Como o elemento abaixo da diagonal continua sendo zero, A + B também é triangular superior. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.

Passo 5

2. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja A = a & b 0 & d uma matriz triangular superior e k in R um escalar. A multiplicação por escalar é:
kA = ka & kb 0 & kd
Novamente, o elemento abaixo da diagonal permanece zero, então kA também é uma matriz triangular superior. Logo, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

3. Existência do elemento neutro:
A matriz zero é:
0 = 0 & 0 0 & 0
Ela é triangular superior e, quando somada a qualquer matriz triangular superior A, retorna A. Portanto, existe o elemento neutro no conjunto.

Passo 7

4. Existência de inversos aditivos:
Para qualquer matriz A = a & b 0 & d , o inverso aditivo é -A = -a & -b 0 & -d . Quando somamos A e -A, obtemos a matriz zero:
A + (-A) = a - a & b - b 0 + 0 & d - d = 0 & 0 0 & 0
Como -A também é triangular superior, os inversos aditivos existem dentro do conjunto.

Passo 8

5. Outras propriedades:
As demais propriedades de associatividade, comutatividade da adição, distributividade da multiplicação por escalar, etc., já são satisfeitas porque estamos trabalhando com matrizes e operações usuais de adição e multiplicação por escalar, que são conhecidas por respeitarem essas propriedades em espaços vetoriais.

Resposta

Portanto, o conjunto de todas as matrizes 2 times 2 triangulares superiores, com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial sobre R.

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