Mostre que o conjunto de todas as matrizes , triangulares superiores, com as operações usuais de adição de matrizes e de multiplicação escalar é um espaço vetorial sobre .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que o conjunto de todas as matrizes que são triangulares superiores forma um espaço vetorial sobre os números reais . Isso significa que, com as operações normais de adição de matrizes e multiplicação por escalar, esse conjunto precisa obedecer a todas as regras (ou axiomas) de um espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar lembrar quais são esses axiomas e verificar se eles são satisfeitos por essas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz triangular superior. Uma matriz é triangular superior se os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Ela tem a seguinte forma:
onde , e são números reais. Agora, vamos considerar o conjunto de todas essas matrizes e verificar se ele é um espaço vetorial.
Passo 3
Para ser um espaço vetorial, o conjunto precisa satisfazer os seguintes axiomas:
Fechamento sob adição: A soma de duas matrizes triangulares superiores deve ser triangular superior.
Fechamento sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz triangular superior por um número real, o resultado também deve ser triangular superior.
Existência do elemento neutro: Deve existir uma matriz triangular superior que, quando somada a qualquer outra, não a altera (a matriz zero).
Existência de inversos aditivos: Para cada matriz triangular superior, deve existir outra matriz triangular superior que, quando somadas, resultam na matriz zero.
Associatividade e comutatividade da adição, distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores e escalares, e compatibilidade da multiplicação por escalar com a multiplicação de escalares.
Vamos verificar cada um desses pontos.
Passo 4
1. Fechamento sob adição:
Seja e duas matrizes triangulares superiores. Sua soma é:
Como o elemento abaixo da diagonal continua sendo zero, também é triangular superior. Portanto, o conjunto é fechado sob adição.
Passo 5
2. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Seja uma matriz triangular superior e um escalar. A multiplicação por escalar é:
Novamente, o elemento abaixo da diagonal permanece zero, então também é uma matriz triangular superior. Logo, o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
3. Existência do elemento neutro:
A matriz zero é:
Ela é triangular superior e, quando somada a qualquer matriz triangular superior , retorna . Portanto, existe o elemento neutro no conjunto.
Passo 7
4. Existência de inversos aditivos:
Para qualquer matriz , o inverso aditivo é . Quando somamos e , obtemos a matriz zero:
Como também é triangular superior, os inversos aditivos existem dentro do conjunto.
Passo 8
5. Outras propriedades:
As demais propriedades de associatividade, comutatividade da adição, distributividade da multiplicação por escalar, etc., já são satisfeitas porque estamos trabalhando com matrizes e operações usuais de adição e multiplicação por escalar, que são conhecidas por respeitarem essas propriedades em espaços vetoriais.
Resposta
Portanto, o conjunto de todas as matrizes triangulares superiores, com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar, forma um espaço vetorial sobre .