Mostre que munido dessas operações é um espaço vetorial sobre .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos envolve verificar se um conjunto com as operações definidas e forma um espaço vetorial sobre . O conteúdo aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e suas propriedades. Para resolver isso, vamos checar se todas as axiomas de um espaço vetorial são satisfeitas por com essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial sobre um campo precisa satisfazer alguns axiomas, como existência de um elemento neutro, existência de inversos, associatividade, comutatividade da soma, distribuição da multiplicação escalar, entre outros. Nosso objetivo é verificar cada um desses axiomas para o conjunto com as operações dadas.
Passo 3
Vamos começar verificando a associatividade da soma. Precisamos mostrar que para quaisquer ,
Calculando o lado esquerdo:
E o lado direito:
Como os dois lados são iguais, a associatividade está satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a comutatividade da soma. Precisamos mostrar que para quaisquer ,
Calculando ambos os lados:
Como a multiplicação é comutativa nos reais ( e ), a soma também é comutativa.
Passo 5
Vamos verificar a existência do elemento neutro. Precisamos encontrar um elemento em tal que para qualquer ,
Assim, funciona como o elemento neutro.
Passo 6
Verificamos a existência de inversos aditivos. Para cada , precisamos de um tal que
Como , seus inversos multiplicativos existem e são positivos, então .
Passo 7
Agora, vamos verificar a distribuição da multiplicação escalar sobre a soma vetorial. Precisamos mostrar que para qualquer e ,
E
Os dois lados são iguais, então a distribuição está satisfeita.
Passo 8
Por fim, vamos verificar a distribuição da multiplicação escalar sobre a soma de escalares. Precisamos mostrar que para e ,
E
Novamente, os dois lados são iguais, satisfazendo esse axioma.
Resposta
Após verificar todos os axiomas necessários, concluímos que o conjunto com as operações definidas e forma, de fato, um espaço vetorial sobre .