Dada a matriz,
A=[ll 2 & 1 1 & 1 ]
encontre uma matriz X in M2 times 2(R), tal que
A X=I2=[ll1 & 0 0 & 1].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar uma matriz de dimensão tal que, ao multiplicar a matriz por , a gente obtenha a matriz identidade . Basicamente, estamos procurando a inversa da matriz . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a inversa de uma matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular a inversa de uma matriz A = a & b c & d , . Se temos uma matriz
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a ,
a inversa de , denotada por , é dada por
onde é o determinante de e é calculado por . Mas atenção: a matriz inversa existe somente se o determinante for diferente de zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A = 2 & 1 1 & 1 . A matriz dada é
det(A) = (2)(1) - (1)(1) = 2 - 1 = 1
Então, o determinante é:
Como o determinante é 1, que é diferente de zero, a matriz tem inversa.

Passo 4

Agora que sabemos que a inversa existe, vamos aplicar a fórmula da inversa. Substituindo os valores na fórmula:
A^-1 = 11 1 & -1 -1 & 2 = 1 & -1 -1 & 2
Então, a inversa de é a matriz acima.

Passo 5

Portanto, a matriz X = A^-1 = 1 & -1 -1 & 2 que estamos procurando, tal que , é exatamente a inversa de . Ou seja,

Resposta

A matriz X = 1 & -1 -1 & 2 que satisfaz é

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