Seja .
Mostre que é transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma transformação definida por . Nosso objetivo é mostrar que é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada.

Passo 3

Verificando a adição de vetores:
Vamos considerar dois vetores quaisquer e em .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Observamos que:

Passo 4

Verificando a multiplicação por escalar:
Agora, vamos considerar um escalar e um vetor .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Novamente, vemos que:

Resposta

Como as duas propriedades de uma transformação linear foram verificadas (adiç��o de vetores e multiplicação por escalar), podemos concluir que é uma transformação linear.

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Suponha que temos um sistema de duas equações em duas variáveis.
O que você pode dizer sobre o conjunto solução deste sistema?
Determine se é transformação linear.
Sejam
(f)
Dada a matriz,
encontre uma matriz , tal que
.