Seja T: R^2 R^2, T(x, y)=(5 x+4 y,-3 x-2 y).
Mostre que T é transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma transformação definida por . Nosso objetivo é mostrar que é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que significa uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada.

Passo 3

Verificando a adição de vetores:
Vamos considerar dois vetores quaisquer u + v = (x1 + x2, y1 + y2) e T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (5(x1 + x2) + 4(y1 + y2), -3(x1 + x2) - 2(y1 + y2)) em = (5x1 + 5x2 + 4y1 + 4y2, -3x1 - 3x2 - 2y1 - 2y2) .
Primeiro, calculamos T(u) = (5x1 + 4y1, -3x1 - 2y1) :
T(v) = (5x2 + 4y2, -3x2 - 2y2)
T(u) + T(v) = (5x1 + 4y1 + 5x2 + 4y2, -3x1 - 2y1 - 3x2 - 2y2)
T(u + v) = T(u) + T(v)
Agora, calculamos :
Observamos que:

Passo 4

Verificando a multiplicação por escalar:
Agora, vamos considerar um escalar cu = (cx, cy) e um vetor T(cu) = T(cx, cy) = (5(cx) + 4(cy), -3(cx) - 2(cy)) .
Primeiro, calculamos = (c(5x + 4y), c(-3x - 2y)) = c(5x + 4y, -3x - 2y) :
T(u) = (5x + 4y, -3x - 2y)
cT(u) = c(5x + 4y, -3x - 2y) = (c(5x + 4y), c(-3x - 2y))
T(cu) = cT(u)
Agora, calculamos :
Novamente, vemos que:

Resposta

Como as duas propriedades de uma transformação linear foram verificadas (adiç��o de vetores e multiplicação por escalar), podemos concluir que é uma transformação linear.

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