Seja
.
Mostre que
é transformação linear.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma transformação
definida por
. Nosso objetivo é mostrar que
é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
- Adição de vetores:
- Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação
dada.
Passo 3
Verificando a adição de vetores:
Vamos considerar dois vetores quaisquer
e
em
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Observamos que:
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Agora, vamos considerar um escalar
e um vetor
.
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Novamente, vemos que:
Resposta
Como as duas propriedades de uma transformação linear foram verificadas (adiç��o de vetores e multiplicação por escalar), podemos concluir que
é uma transformação linear.