Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma transformação definida por . Nosso objetivo é mostrar que é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que significa uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes duas propriedades forem verdadeiras:
Adição de vetores:
Multiplicação por escalar:
Vamos verificar essas duas propriedades para a transformação dada.
Passo 3
Verificando a adição de vetores:
Vamos considerar dois vetores quaisquer e em .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Observamos que:
Passo 4
Verificando a multiplicação por escalar:
Agora, vamos considerar um escalar e um vetor .
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Novamente, vemos que:
Resposta
Como as duas propriedades de uma transformação linear foram verificadas (adiç��o de vetores e multiplicação por escalar), podemos concluir que é uma transformação linear.