Seja .
Ache não nulos tais que e . A solução é única?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar vetores não nulos e que satisfaçam e , respectivamente. Além disso, queremos saber se essa solução é única. Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores de matrizes.

Passo 2

Primeiro, representamos a transformação como uma matriz. A matriz associada a é:

Passo 3

Para encontrar vetores e que satisfazem e , precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Um autovetor satisfaz , onde é o autovalor correspondente.

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica:
Calculando o determinante:
Simplificando:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são e .

Passo 6

Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :

[


]
Simplificando:

[


]
Isso nos dá a equação , ou seja, .
Então, um autovetor correspondente é .
Para :
Resolvemos :

[


]
Simplificando:

[


]
Isso nos dá a equação , ou seja, .
Então, um autovetor correspondente é .

Resposta

Os vetores buscados são e . A solução não é única, pois qualquer múltiplo não nulo desses vetores também satisfaz as equações e .

Exercícios relacionados

Dada a matriz,
encontre uma matriz , tal que
.
Sejam
(f)
Determine uma transformação linear tal que .
Indique se as matrizes abaixo estão na sua forma escalonada reduzida ou não.