Seja .
Ache não nulos tais que e . A solução é única?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar vetores não nulos e que satisfaçam e , respectivamente. Além disso, queremos saber se essa solução é única. Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores de matrizes.
Passo 2
Primeiro, representamos a transformação como uma matriz. A matriz associada a é:
Passo 3
Para encontrar vetores e que satisfazem e , precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Um autovetor satisfaz , onde é o autovalor correspondente.
Passo 4
Vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são e .
Passo 6
Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
[
]
Simplificando:
[
]
Isso nos dá a equação , ou seja, .
Então, um autovetor correspondente é .
Para :
Resolvemos :
[
]
Simplificando:
[
]
Isso nos dá a equação , ou seja, .
Então, um autovetor correspondente é .
Resposta
Os vetores buscados são e . A solução não é única, pois qualquer múltiplo não nulo desses vetores também satisfaz as equações e .