Seja T: R^2 R^2, T(x, y)=(5 x+4 y,-3 x-2 y).
Ache u=(u1, u2), v=(v1, v2) não nulos tais que T(u)=u e T(v)=2 v. A solução é única?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é encontrar vetores não nulos e que satisfaçam e , respectivamente. Além disso, queremos saber se essa solução é única. Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores de matrizes.

Passo 2

Primeiro, representamos a transformação A = 5 & 4 -3 & -2 como uma matriz. A matriz associada a é:

Passo 3

Para encontrar vetores e que satisfazem e , precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Um autovetor satisfaz , onde é o autovalor correspondente.

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Calculando o determinante:
det 5 - lambda & 4 -3 & -2 - lambda = (5 - lambda)(-2 - lambda) - (-3)(4) = 0
Simplificando:
(5 - lambda)(-2 - lambda) + 12 = 0 (-10 -5lambda + 2lambda + lambda^2) + 12 = 0 lambda^2 - 3lambda + 2 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
lambda^2 - 3lambda + 2 = 0 (lambda - 1)(lambda - 2) = 0
Portanto, os autovalores são e .

Passo 6

Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para 5 - 1 & 4 -3 & -2 - 1 u1 u2 = 0 0 :
Resolvemos 4 & 4 -3 & -3 u1 u2 = 0 0 :

[
5 - 2 & 4 -3 & -2 - 2 v1 v2 = 0 0
3 & 4 -3 & -4 v1 v2 = 0 0


]
Simplificando:

[


]
Isso nos dá a equação , ou seja, .
Então, um autovetor correspondente é .
Para :
Resolvemos :

[


]
Simplificando:

[


]
Isso nos dá a equação , ou seja, .
Então, um autovetor correspondente é .

Resposta

Os vetores buscados são e . A solução não é única, pois qualquer múltiplo não nulo desses vetores também satisfaz as equações e .

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