Seja
.
Ache
não nulos tais que
e
. A solução é única?
Ache
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo é encontrar vetores não nulos
e
que satisfaçam
e
, respectivamente. Além disso, queremos saber se essa solução é única. Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores de matrizes.
Passo 2
Primeiro, representamos a transformação
como uma matriz. A matriz associada a
é:
Passo 3
Para encontrar vetores
e
que satisfazem
e
, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz
. Um autovetor
satisfaz
, onde
é o autovalor correspondente.
Passo 4
Vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os autovalores são
e
.
Passo 6
Agora, encontramos os autovetores para cada autovalor.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Simplificando:
[
]
Isso nos dá a equação
, ou seja,
.
Então, um autovetor correspondente é
.
Para
:
Resolvemos
:
[
]
Simplificando:
[
]
Isso nos dá a equação
, ou seja,
.
Então, um autovetor correspondente é
.
Resposta
Os vetores buscados são
e
. A solução não é única, pois qualquer múltiplo não nulo desses vetores também satisfaz as equações
e
.