Determine uma transformação linear
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma transformação linear
tal que o núcleo (
) e a imagem (
) de
sejam iguais e formem o conjunto
.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de transformações lineares, como núcleo e imagem, além de como representar essas transformações usando matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são núcleo e imagem de uma transformação linear:
-
Núcleo (
): É o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero pela transformação . Ou seja, . -
Imagem (
): É o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação a algum vetor de . Ou seja, .
No nosso caso, tanto o núcleo quanto a imagem devem ser a linha
, que é um subespaço unidimensional de
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão):
Como tanto o núcleo quanto a imagem são umidimensionais (já que
é uma linha), temos:
Isso confirma que estamos no caminho certo.
Passo 4
Vamos representar a transformação linear
por uma matriz
2x2. Queremos que:
-
Imagem de
seja a linha . Isso significa que qualquer imagem deve ser da forma , onde é um escalar. -
Núcleo de
também seja a linha . Ou seja, se , então deve ser da forma .
Passo 5
Vamos construir a matriz
com essas propriedades. Uma estratégia é encontrar uma matriz que:
- Envie qualquer vetor na direção perpendicular à linha
para . - Envie os vetores na linha
para .
A direção perpendicular à linha
é a linha
. Então, queremos que vetores de
sejam mapeados para múltiplos de
.
Uma matriz que faz isso é:
Passo 6
Vamos verificar se essa matriz atende aos requisitos:
-
Imagem de
: Multiplicandopor um vetor qualquer : Como resultado, a imagem é sempre da forma, onde . Portanto, . -
Núcleo de
: Encontramos os vetorestais que : Portanto,.
Passo 7
Como a matriz
satisfaz:
Ela atende exatamente ao que foi pedido na questão.
Resposta
Uma transformação linear que satisfaz as condições é dada pela matriz
Exercícios relacionados
Seja
.
Ache não nulos tais que
e
. A solução é única?
Ache
Dada a matriz,
encontre uma matriz
, tal que
.
Indique se as matrizes abaixo estão na sua forma escalonada reduzida ou não.
;
Determine os focos, os vértices e as diretrizes das parábolas dadas a seguir. Faça um esboço:
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(a)
(b)
©
(d)