Determine uma transformação linear tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma transformação linear tal que o núcleo ( ) e a imagem ( ) de sejam iguais e formem o conjunto .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de transformações lineares, como núcleo e imagem, além de como representar essas transformações usando matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são núcleo e imagem de uma transformação linear:
  • Núcleo ( ): É o conjunto de todos os vetores que são mapeados para o vetor zero pela transformação . Ou seja, .
  • Imagem ( ): É o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos aplicando a transformação a algum vetor de . Ou seja, .
No nosso caso, tanto o núcleo quanto a imagem devem ser a linha , que é um subespaço unidimensional de .

Passo 3

Agora, vamos lembrar do Teorema do Núcleo e da Imagem (ou Teorema da Dimensão):
Como tanto o núcleo quanto a imagem são umidimensionais (já que é uma linha), temos:
Isso confirma que estamos no caminho certo.

Passo 4

Vamos representar a transformação linear por uma matriz 2x2. Queremos que:
  1. Imagem de seja a linha . Isso significa que qualquer imagem deve ser da forma , onde é um escalar.
  2. Núcleo de também seja a linha . Ou seja, se , então deve ser da forma .

Passo 5

Vamos construir a matriz com essas propriedades. Uma estratégia é encontrar uma matriz que:
  • Envie qualquer vetor na direção perpendicular à linha para .
  • Envie os vetores na linha para .
A direção perpendicular à linha é a linha . Então, queremos que vetores de sejam mapeados para múltiplos de .
Uma matriz que faz isso é:

Passo 6

Vamos verificar se essa matriz atende aos requisitos:
  1. Imagem de :
    Multiplicando por um vetor qualquer :
    Como resultado, a imagem é sempre da forma , onde . Portanto, .
  2. Núcleo de :
    Encontramos os vetores tais que :
    Portanto, .

Passo 7

Como a matriz satisfaz:
Ela atende exatamente ao que foi pedido na questão.

Resposta

Uma transformação linear que satisfaz as condições é dada pela matriz

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Seja .
Ache não nulos tais que e . A solução é única?
Dada a matriz,
encontre uma matriz , tal que
.
Indique se as matrizes abaixo estão na sua forma escalonada reduzida ou não.
Determine os focos, os vértices e as diretrizes das parábolas dadas a seguir. Faça um esboço:
(a) .
(b) .
© .
(d) .