Para a matriz D=(lll3 & 1 & 0 1 & 3 & 1 0 & 1 & 3), calcule os autovalores e autovetores normalizados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular os autovalores e os autovetores normalizados da matriz 3 & 1 & 0 1 & 3 & 1 0 & 1 & 3 . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz det(D - lambda I) = 0 . Para isso, a gente precisa resolver a equação característica, que é dada por:
Aqui, é a matriz identidade de mesma ordem que , e representa os autovalores que queremos descobrir.

Passo 3

Vamos montar a matriz D - lambda I = 3-lambda & 1 & 0 1 & 3-lambda & 1 0 & 1 & 3-lambda :
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz e igualar a zero.

Passo 4

Calculando o determinante:
det(D - lambda I) = (3-lambda) 3-lambda & 1 1 & 3-lambda - 1 1 & 1 0 & 3-lambda + 0 1 & 3-lambda 0 & 1
Simplificando:
= (3-lambda)[(3-lambda)^2 - 1] - 1[(3-lambda)] + 0
= (3-lambda)[(3-lambda)^2 - 1] - (3-lambda)

Passo 5

Expandindo e simplificando a expressão:
= (3-lambda)[(3-lambda)^2 - 1] - (3-lambda)
= (3-lambda)[9 - 6lambda + lambda^2 - 1] - (3-lambda)
= (3-lambda)(lambda^2 - 6lambda + 8) - (3-lambda)
= (3-lambda)(lambda^2 - 6lambda + 8 - 1)
= (3-lambda)(lambda^2 - 6lambda + 7)

Passo 6

Igualando o determinante a zero:
(3-lambda)(lambda^2 - 6lambda + 7) = 0
Então, temos duas possibilidades:
  1. lambda = 6 pm raiz36 - 282 = 6 pm raiz82 = 6 pm 2raiz22 = 3 pm raiz2
Vamos resolver a segunda equação quadrática:

Passo 7

Então, os autovalores da matriz lambda1 = 3, lambda2 = 3 + raiz2, lambda3 = 3 - raiz2 são:

Passo 8

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada (D - lambda I)v = 0 , precisamos resolver:
Onde é o autovetor.
Vamos começar com .

Passo 9

Para D - 3I = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 :
0v1 + v2 + 0v3 = 0 v1 + 0v2 + v3 = 0 0v1 + v2 + 0v3 = 0
Resolvendo v1 = 1 0 -1 :
Da primeira e terceira equação, . Da segunda equação, .
Então, o autovetor não normalizado é:

Passo 10

Para normalizar o autovetor |v1| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2 , calculamos sua norma:
u1 = 1raiz2 1 0 -1
Então, o autovetor normalizado é:

Passo 11

Agora, vamos para D - lambda2 I = 3 - (3 + raiz2) & 1 & 0 1 & 3 - (3 + raiz2) & 1 0 & 1 & 3 - (3 + raiz2) = -raiz2 & 1 & 0 1 & -raiz2 & 1 0 & 1 & -raiz2 :
-raiz2v1 + v2 = 0 v1 - raiz2v2 + v3 = 0 v2 - raiz2v3 = 0
Resolvendo v2 = 1 raiz2 1 :
Da primeira equação: . Da terceira equação: .
Então, o autovetor não normalizado é:

Passo 12

Normalizando |v2| = raiz1^2 + (raiz2)^2 + 1^2 = raiz1 + 2 + 1 = raiz4 = 2 :
u2 = 12 1 raiz2 1
Então, o autovetor normalizado é:

Passo 13

Finalmente, vamos para D - lambda3 I = 3 - (3 - raiz2) & 1 & 0 1 & 3 - (3 - raiz2) & 1 0 & 1 & 3 - (3 - raiz2) = raiz2 & 1 & 0 1 & raiz2 & 1 0 & 1 & raiz2 :
raiz2v1 + v2 = 0 v1 + raiz2v2 + v3 = 0 v2 + raiz2v3 = 0
Resolvendo v3 = 1 -raiz2 1 :
Da primeira equação: . Da terceira equação: .
Então, o autovetor não normalizado é:

Passo 14

Normalizando |v3| = raiz1^2 + (-raiz2)^2 + 1^2 = raiz1 + 2 + 1 = raiz4 = 2 :
u3 = 12 1 -raiz2 1
Então, o autovetor normalizado é:

Resposta

Os autovalores da matriz u1 = 1raiz2 1 0 -1 , u2 = 12 1 raiz2 1 , u3 = 12 1 -raiz2 1 são , e . Os autovetores normalizados correspondentes são:

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