Dada a matriz a , calcule e, a partir daí, encontre uma matriz tal que .

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve multiplicação de matrizes e encontrar uma matriz que funciona como “inversa” em certo sentido. Nos foi dada a matriz e precisamos calcular o produto . Depois disso, temos que encontrar uma matriz tal que, quando multiplicada por , resulte na matriz identidade . Para isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . A matriz é:
A transposta de , denotada por , é:
Agora, multiplicamos por :
Vamos calcular cada elemento dessa nova matriz:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Portanto, o produto é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a matriz de tamanho tal que:
Vamos chamar de:
Multiplicando por , temos:
Queremos que isso seja igual a , então temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, subtraia a equação 1 da equação 3:
Substituindo na equação 1:
Agora, faça o mesmo para as colunas 2 e 4:
Subtraia a equação 2 da equação 4:
Substituindo na equação 2:
Agora, temos:
Podemos escolher valores para e e resolver para e . Para simplificar, vamos escolher:
Portanto, a matriz fica:

Resposta

A matriz que satisfaz ��:

Exercícios relacionados

Demostre as proposições abaixo:
Demostre que para matrizes não-singulares.
Demostre as proposições abaixo:
Se E for uma matriz elementar de , somando-se a uma de suas linhas o múltiplo de outra temos .
Dada a matriz , prove que ou o sistema tem solução qualquer que seja ou o sistema homogêneo transposto admite uma solução não-trivial.
(ITA) Sejam e matrizes quadradas tais que e sōo inversiveis e , onde é a transposta da matriz . Entäo podemos afirmar que:
a) é inversivel .
b) näo é inversivel pois .
c) é inversivel .
d) é inversivel .
e) é inversivel e .