Dada a matriz a =[lll1 & 1 & 1 1 & 1 & 2], calcule a a^top e, a partir daí, encontre uma matriz b in M(3 times 2) tal que a b=I2.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que envolve multiplicação de matrizes e encontrar uma matriz que funciona como “inversa” em certo sentido. Nos foi dada a matriz e precisamos calcular o produto . Depois disso, temos que encontrar uma matriz tal que, quando multiplicada por , resulte na matriz identidade . Para isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e resolver sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 . A matriz a^top = 1 & 1 1 & 1 1 & 2 é:
a a^top = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 1 & 1 1 & 1 1 & 2
A transposta de 1 times 1 + 1 times 1 + 1 times 1 = 1 + 1 + 1 = 3 , denotada por 1 times 1 + 1 times 1 + 1 times 2 = 1 + 1 + 2 = 4 , é:
1 times 1 + 1 times 1 + 2 times 1 = 1 + 1 + 2 = 4
Agora, multiplicamos 1 times 1 + 1 times 1 + 2 times 2 = 1 + 1 + 4 = 6 por a a^top = 3 & 4 4 & 6 :
Vamos calcular cada elemento dessa nova matriz:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
Portanto, o produto é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a matriz a b = I2 = 1 & 0 0 & 1 de tamanho b = b11 & b12 b21 & b22 b31 & b32 tal que:
a b = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 2 b11 & b12 b21 & b22 b31 & b32 = b11 + b21 + b31 & b12 + b22 + b32 b11 + b21 + 2b31 & b12 + b22 + 2b32
Vamos chamar (b11 + b21 + 2b31) - (b11 + b21 + b31) ) = 0 - 1 Rightarrow b31 = -1 de:
b11 + b21 - 1 = 1 Rightarrow b11 + b21 = 2
Multiplicando (b12 + b22 + 2b32) - (b12 + b22 + b32) ) = 1 - 0 Rightarrow b32 = 1 por b12 + b22 + 1 = 0 Rightarrow b12 + b22 = -1 , temos:
b11 = 2 e b21 = 0
Queremos que isso seja igual a b12 = 0 e b22 = -1 , então temos o seguinte sistema de equações:
  1. b = 2 & 0 0 & -1 -1 & 1
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, subtraia a equação 1 da equação 3:
Substituindo na equação 1:
Agora, faça o mesmo para as colunas 2 e 4:
Subtraia a equação 2 da equação 4:
Substituindo na equação 2:
Agora, temos:
Podemos escolher valores para e e resolver para e . Para simplificar, vamos escolher:
Portanto, a matriz fica:

Resposta

A matriz b = 2 & 0 0 & -1 -1 & 1 que satisfaz ��:

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