Demostre as proposições abaixo:
Demostre que para matrizes não-singulares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar que a inversa de uma matriz (quando ela não é singular, ou seja, tem determinante diferente de zero) é igual à matriz adjunta de dividida pelo determinante de . O conteúdo que vamos usar envolve matrizes, determinantes e a matriz adjunta. Para resolver, precisamos entender como esses conceitos se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a matriz adjunta, denotada por . A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de . Os cofatores são calculados a partir dos menores de cada elemento da matriz original, ajustados por sinais alternados.

Passo 3

Sabemos que para qualquer matriz quadrada , a seguinte relação é válida:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Essa equação é fundamental porque relaciona a matriz , sua adjunta e o determinante.

Passo 4

Como a matriz é não-singular, isso significa que seu determinante não é zero. Isso é importante porque podemos então dividir ambos os lados da equação pelo sem problemas.

Passo 5

Assim, isolando , chegamos à expressão que queríamos demonstrar:

Resposta

Portanto, demonstramos que a inversa de uma matriz não-singular é igual à matriz adjunta de dividida pelo seu determinante:

Exercícios relacionados

Demostre as proposições abaixo:
Se E for uma matriz elementar de , somando-se a uma de suas linhas o múltiplo de outra temos .
Demostre as proposições abaixo:
O determinante troca de sinal se permutarmos duas linhas.
Dada a matriz a , calcule e, a partir daí, encontre uma matriz tal que .
Dada a matriz , prove que ou o sistema tem solução qualquer que seja ou o sistema homogêneo transposto admite uma solução não-trivial.