Demostre as proposições abaixo:
Demostre que A^-1=adj(A) / det(A) para matrizes não-singulares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar que a inversa de uma matriz (quando ela não é singular, ou seja, tem determinante diferente de zero) é igual à matriz adjunta de dividida pelo determinante de . O conteúdo que vamos usar envolve matrizes, determinantes e a matriz adjunta. Para resolver, precisamos entender como esses conceitos se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a matriz adjunta, denotada por . A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de . Os cofatores são calculados a partir dos menores de cada elemento da matriz original, ajustados por sinais alternados.

Passo 3

Sabemos que para qualquer matriz quadrada A cdot adj(A) = det(A) cdot I , a seguinte relação é válida:
Aqui, é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Essa equação é fundamental porque relaciona a matriz , sua adjunta e o determinante.

Passo 4

Como a matriz A cdot adj(A) = det(A) cdot I implies A^-1 = adj(A)det(A) é não-singular, isso significa que seu determinante não é zero. Isso é importante porque podemos então dividir ambos os lados da equação pelo sem problemas.

Passo 5

Assim, isolando A^-1 = adj(A)det(A) , chegamos à expressão que queríamos demonstrar:

Resposta

Portanto, demonstramos que a inversa de uma matriz não-singular A^-1 = adj(A)det(A) é igual à matriz adjunta de dividida pelo seu determinante:

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