Demostre as proposições abaixo:
Demostre que
para matrizes não-singulares.
Demostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar que a inversa de uma matriz
(quando ela não é singular, ou seja, tem determinante diferente de zero) é igual à matriz adjunta de
dividida pelo determinante de
. O conteúdo que vamos usar envolve matrizes, determinantes e a matriz adjunta. Para resolver, precisamos entender como esses conceitos se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a matriz adjunta, denotada por
. A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de
. Os cofatores são calculados a partir dos menores de cada elemento da matriz original, ajustados por sinais alternados.
Passo 3
Sabemos que para qualquer matriz quadrada
, a seguinte relação é válida:
Aqui,
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
. Essa equação é fundamental porque relaciona a matriz
, sua adjunta e o determinante.
Passo 4
Como a matriz
é não-singular, isso significa que seu determinante
não é zero. Isso é importante porque podemos então dividir ambos os lados da equação pelo
sem problemas.
Passo 5
Assim, isolando
, chegamos à expressão que queríamos demonstrar:
Resposta
Portanto, demonstramos que a inversa de uma matriz não-singular
é igual à matriz adjunta de
dividida pelo seu determinante:
Exercícios relacionados
Demostre as proposições abaixo:
Se E for uma matriz elementar de , somando-se a uma de suas linhas o múltiplo de outra temos
.
Se E for uma matriz elementar de
Demostre as proposições abaixo:
O determinante troca de sinal se permutarmos duas linhas.
O determinante troca de sinal se permutarmos duas linhas.
Dada a matriz a
, calcule
e, a partir daí, encontre uma matriz
tal que
.
Dada a matriz
, prove que ou o sistema
tem solução qualquer que seja
ou o sistema homogêneo transposto
admite uma solução não-trivial.