Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se
e
são paralelos, então
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a afirmação "Se
e
são paralelos, então
" é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de vetores paralelos. Precisamos entender o que significa ser paralelo e como isso se relaciona com a igualdade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são vetores paralelos. Dois vetores
e
são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. Isso quer dizer que existe um número real
tal que:
Isso implica que eles têm a mesma direção ou direções opostas, dependendo do valor de
.
Passo 3
Agora, a afirmação diz que se
e
são paralelos, então
. Vamos analisar isso usando a definição de vetores paralelos.
Se substituirmos na equação acima, temos:
Para que
, precisamos que
. Mas a definição de vetores paralelos permite que
seja qualquer número real, não necessariamente 1. Por exemplo, se
, então
é duas vezes
, mas ainda são paralelos.
Passo 4
Além disso, se
, isso significa que
tem a mesma magnitude que
, mas direção oposta. Mesmo assim, eles continuam sendo paralelos, mas claramente
.
Resposta
Falsa. Mesmo que
e
sejam paralelos, elas podem ter magnitudes diferentes ou direções opostas, o que faz com que
não seja necessariamente igual a
.
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Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se
, então
são paralelos.
Verifique se quais das transforcões são lineares:
Dada a matriz
encontre os autovalores e autovetores de
.
Resolva o sistema nas incógnitas
e
.