Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se e são paralelos, então .

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a afirmação "Se e são paralelos, então " é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de vetores paralelos. Precisamos entender o que significa ser paralelo e como isso se relaciona com a igualdade entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são vetores paralelos. Dois vetores e são paralelos se um é múltiplo escalar do outro. Isso quer dizer que existe um número real tal que:
Isso implica que eles têm a mesma direção ou direções opostas, dependendo do valor de .

Passo 3

Agora, a afirmação diz que se e são paralelos, então . Vamos analisar isso usando a definição de vetores paralelos.
Se substituirmos na equação acima, temos:
Para que , precisamos que . Mas a definição de vetores paralelos permite que seja qualquer número real, não necessariamente 1. Por exemplo, se , então é duas vezes , mas ainda são paralelos.

Passo 4

Além disso, se , isso significa que tem a mesma magnitude que , mas direção oposta. Mesmo assim, eles continuam sendo paralelos, mas claramente .

Resposta

Falsa. Mesmo que e sejam paralelos, elas podem ter magnitudes diferentes ou direções opostas, o que faz com que não seja necessariamente igual a .

Exercícios relacionados

Determine se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta. Se , então são paralelos.
Verifique se quais das transforcões são lineares:
Dada a matriz
encontre os autovalores e autovetores de .
Resolva o sistema nas incógnitas e .