Determine os vértices do triângulo cujos vértices estão contidos nas interseções entre as retas 3x-2y-4=0, y=20-4x e 5x+4y-14=0. R.: A=(4,4), B=(2,1), C=(6,-4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar os vértices de um triângulo formado pelas interseções de três retas: , e . Para resolver isso, a gente vai precisar usar sistemas de equações lineares, ou seja, resolver pares de equações para achar onde elas se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as retas 3x - 2(20 - 4x) - 4 = 0 e 3x - 40 + 8x - 4 = 0 11x - 44 = 0 x = 4 se encontram. A ideia aqui é substituir a expressão de y = 20 - 16 = 4 da segunda equação na primeira:
Simplificando isso:
Agora, substituímos na equação :
Então, o primeiro vértice é .

Passo 3

Vamos agora encontrar onde as retas 3x - 2y = 4 5x + 4y = 14 e 6x - 4y = 8 5x + 4y = 14 se cruzam. Para isso, podemos resolver o sistema de equações:
11x = 22 x = 2
Podemos multiplicar a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação de 3(2) - 2y = 4 6 - 2y = 4 -2y = -2 y = 1 :
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Então, o segundo vértice é .

Passo 4

Por último, vamos descobrir onde as retas 5x + 4(20 - 4x) - 14 = 0 e 5x + 80 - 16x - 14 = 0 -11x + 66 = 0 x = 6 se encontram. Substituímos y = 20 - 24 = -4 da primeira equação na segunda:
Simplificando:
Agora, substituímos na equação de :
Então, o terceiro vértice é .

Resposta

Os vértices do triângulo são:
, e .

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