Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis; caso afirmativo, calcule suas inversas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as matrizes e são invertíveis. Se forem, a gente também vai calcular as inversas delas. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e propriedades de matrizes inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a matriz :
Para saber se uma matriz quadrada é invertível, a gente precisa calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
O determinante de uma matriz é calculado assim:
Onde são os elementos da matriz:
Então, substituindo os valores:
Como o determinante é 6, que é diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 3
Agora, vamos calcular a inversa da matriz . Para uma matriz , a inversa é dada por:
Substituindo os valores de :
Então, a inversa da matriz é:
Passo 4
Agora, vamos analisar a matriz :
Para verificar se uma matriz é invertível, também usamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Calculando o determinante de :
Como o determinante é 2, que é diferente de zero, a matriz também é invertível.
Passo 5
Para encontrar a inversa de uma matriz , a gente pode usar a matriz adjunta e o determinante. A fórmula é:
Primeiro, vamos encontrar a matriz adjunta de . Para isso, precisamos calcular a matriz dos cofatores e, em seguida, transpor essa matriz.
Calculando os cofatores:
Então, a matriz dos cofatores é:
Agora, a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, a inversa de é:
Resposta
As matrizes e são invertíveis, e suas inversas são: