Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis; caso afirmativo, calcule suas inversas.
A=(ll 5 & 3 8 & 6 ) e B=(lll 1 & 0 & 0 3 & 2 & 0 6 & 4 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se as matrizes e são invertíveis. Se forem, a gente também vai calcular as inversas delas. Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e propriedades de matrizes inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a matriz A = 5 & 3 8 & 6 :
det(A) = (a cdot d) - (b cdot c)
Para saber se uma matriz quadrada é invertível, a gente precisa calcular o determinante dela. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
O determinante de uma matriz A = a & b c & d é calculado assim:
det(A) = (5 cdot 6) - (3 cdot 8) = 30 - 24 = 6
Onde são os elementos da matriz:
Então, substituindo os valores:
Como o determinante é 6, que é diferente de zero, a matriz é invertível.

Passo 3

Agora, vamos calcular a inversa da matriz A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a . Para uma matriz A^-1 = 16 6 & -3 -8 & 5 = 1 & -0.5 -13 & 08 , a inversa é dada por:
A^-1 = 1 & -0.5 -13 & 08
Substituindo os valores de :
Então, a inversa da matriz é:

Passo 4

Agora, vamos analisar a matriz B = 1 & 0 & 0 3 & 2 & 0 6 & 4 & 1 :
det(B) = 1 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 4) - 0 cdot (3 cdot 1 - 0 cdot 6) + 0 cdot (3 cdot 4 - 2 cdot 6) = 1 cdot 2 - 0 + 0 = 2
Para verificar se uma matriz é invertível, também usamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível.
Calculando o determinante de :
Como o determinante é 2, que é diferente de zero, a matriz também é invertível.

Passo 5

Para encontrar a inversa de uma matriz B^-1 = 1det(B) cdot adj(B) , a gente pode usar a matriz adjunta e o determinante. A fórmula é:
C11 &= det 2 & 0 4 & 1 = (2)(1) - (0)(4) = 2 C12 &= -det 3 & 0 6 & 1 = -[(3)(1) - (0)(6)] = -3 C13 &= det 3 & 2 6 & 4 = (3)(4) - (2)(6) = 12 - 12 = 0 C21 &= -det 0 & 0 4 & 1 = -[(0)(1) - (0)(4)] = 0 C22 &= det 1 & 0 6 & 1 = (1)(1) - (0)(6) = 1 C23 &= -det 1 & 0 6 & 4 = -[(1)(4) - (0)(6)] = -4 C31 &= det 0 & 0 2 & 0 = (0)(0) - (0)(2) = 0 C32 &= -det 1 & 0 3 & 0 = -[(1)(0) - (0)(3)] = 0 C33 &= det 1 & 0 3 & 2 = (1)(2) - (0)(3) = 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz adjunta de Cof(B) = 2 & -3 & 0 0 & 1 & -4 0 & 0 & 2 . Para isso, precisamos calcular a matriz dos cofatores e, em seguida, transpor essa matriz.
Calculando os cofatores:
adj(B) = 2 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 0 & -4 & 2
Então, a matriz dos cofatores é:
B^-1 = 12 2 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 0 & -4 & 2 = 1 & 0 & 0 -1.5 & 0.5 & 0 0 & -2 & 1
Agora, a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
Finalmente, a inversa de é:

Resposta

As matrizes A^-1 = 1 & -0.5 -13 & 08 e B^-1 = 1 & 0 & 0 -1.5 & 0.5 & 0 0 & -2 & 1 são invertíveis, e suas inversas são:
e

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