Dada a matriz A=[llla & 0 & 0 0 & b & c 0 & c & b]: Encontre uma base ortonormal beta de autovetores de A;

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma matriz a & 0 & 0 0 & b & c 0 & c & b e precisa encontrar uma base ortonormal dos autovetores dessa matriz. Isso está relacionado ao estudo de autovalores e autovetores em álgebra linear, que nos ajuda a entender como a matriz age em diferentes direções no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Para isso, precisamos resolver a equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.

Passo 3

Calculando A - lambda I = a - lambda & 0 & 0 0 & b - lambda & c 0 & c & b - lambda :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal. Porém, como temos uma submatriz no meio, vamos expandir o determinante:
det(A - lambda I) = (a - lambda) cdot det b - lambda & c c & b - lambda
Calculando o determinante da submatriz:
det b - lambda & c c & b - lambda = (b - lambda)^2 - c^2
Então:
det(A - lambda I) = (a - lambda)[(b - lambda)^2 - c^2] = 0

Passo 5

Para encontrar os autovalores, resolvemos a - lambda = 0 Rightarrow lambda = a :
(b - lambda)^2 - c^2 = 0 Rightarrow (b - lambda) = pm c Rightarrow lambda = b pm c
Então, os autovalores são , e .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para (A - aI)v = 0 Rightarrow 0 & 0 & 0 0 & b - a & c 0 & c & b - a v1 v2 v3 = 0 0 0 :
1 0 0
Isso implica que pode ser qualquer valor, e . Então, um autovetor é .

Passo 7

Para (A - lambda2 I)v = 0 Rightarrow a - (b + c) & 0 & 0 0 & -c & c 0 & c & -c v1 v2 v3 = 0 0 0 :
0 1 1
Das equações, temos e . Então, um autovetor é .

Passo 8

Para (A - lambda3 I)v = 0 Rightarrow a - (b - c) & 0 & 0 0 & c & c 0 & c & c v1 v2 v3 = 0 0 0 :
0 1 -1
Das equações, temos e . Então, um autovetor é .

Passo 9

Agora, precisamos garantir que esses autovetores formem uma base ortonormal, ou seja, que sejam mutuamente ortogonais e de norma 1. Vamos normalizar os vetores |v2| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz2 Rightarrow u2 = 1raiz2 0 1 1 e |v3| = raiz0^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz2 Rightarrow u3 = 1raiz2 0 1 -1 :
|v1| = raiz1^2 + 0^2 + 0^2 = 1 Rightarrow u1 = 1 0 0
E já está normalizado:

Resposta

A base ortonormal beta = 1 0 0 , 1raiz2 0 1 1 , 1raiz2 0 1 -1 de autovetores de é:

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