Determine quais matrizes abaixos são ortogonais: A=[cccc1raiz2 & 1raiz2 & 0 & 0 1raiz2 & -1raiz2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente descobrir se a matriz é ortogonal. Uma matriz ortogonal é aquela cujas colunas (ou linhas) são vetores ortonormais, ou seja, cada vetor tem norma 1 e são perpendiculares entre si. Para isso, vamos precisar calcular as normas das colunas de e verificar se elas são perpendiculares umas às outras.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma de cada coluna da matriz |v| = raizv1^2 + v2^2 + dots + vn^2 . A norma de um vetor é basicamente o comprimento dele e é calculada usando a fórmula:
[1raiz2, 1raiz2, 0, 0]^T
Vamos ver cada coluna:
  • Primeira coluna:
raiz(1raiz2)^2 + (1raiz2)^2 + 0^2 + 0^2 = raiz12 + 12 = raiz1 = 1
A norma é:
[1raiz2, -1raiz2, 0, 0]^T
  • Segunda coluna:
raiz(1raiz2)^2 + (-1raiz2)^2 + 0^2 + 0^2 = raiz12 + 12 = raiz1 = 1
A norma é:
[0, 0, 1, 0]^T
  • Terceira coluna:
raiz0^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 = 1
A norma é:
[0, 0, 0, 1]^T
  • Quarta coluna:
raiz0^2 + 0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 = 1
A norma é:
Todas as colunas têm norma 1, então estamos tranquilos nessa parte!

Passo 3

Agora vamos conferir se as colunas são perpendiculares entre si, ou seja, se o produto interno entre quaisquer duas colunas diferentes é zero. O produto interno de dois vetores u cdot v = u1v1 + u2v2 + dots + unvn e 1raiz2 cdot 1raiz2 + 1raiz2 cdot (-1raiz2) + 0 cdot 0 + 0 cdot 0 = 12 - 12 = 0 é dado por:
1raiz2 cdot 0 + 1raiz2 cdot 0 + 0 cdot 1 + 0 cdot 0 = 0
Vamos calcular entre cada par de colunas:
  • Primeira e Segunda coluna:
1raiz2 cdot 0 + 1raiz2 cdot 0 + 0 cdot 0 + 0 cdot 1 = 0
  • Primeira e Terceira coluna:
1raiz2 cdot 0 + (-1raiz2) cdot 0 + 0 cdot 1 + 0 cdot 0 = 0
  • Primeira e Quarta coluna:
1raiz2 cdot 0 + (-1raiz2) cdot 0 + 0 cdot 0 + 0 cdot 1 = 0
  • Segunda e Terceira coluna:
0 cdot 0 + 0 cdot 0 + 1 cdot 0 + 0 cdot 1 = 0
  • Segunda e Quarta coluna:
  • Terceira e Quarta coluna:
Todos os produtos internos deram zero, o que significa que as colunas são perpendiculares entre si.

Resposta

A matriz é ortogonal.

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