Sejam A e B matrizes 3 times 3 com det(A)=4 e det(B)=5. Encontre o valor de
(d) det(A^-1 B)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o determinante de , onde e são matrizes com determinantes conhecidos: e . Vamos usar conhecimentos sobre determinantes de matrizes e suas propriedades para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de um produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes dessas matrizes. Ou seja, para quaisquer matrizes det(XY) = det(X) cdot det(Y) e quadradas do mesmo tamanho, temos:

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, onde queremos det(A^-1 B) = det(A^-1) cdot det(B) , podemos separar os determinantes:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar det(A^-1) = 1det(A) . Uma propriedade importante de determinantes é que o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original:
det(A^-1) = 14
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, substituímos os valores que temos na expressão original:
det(A^-1 B) = det(A^-1) cdot det(B) = 14 cdot 5 = 54

Resposta

O valor de é .

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