Para os subespaços vetoriais W subset V, determine uma base para W^perp no produto interno indicado: W subset R^3 gerado pelo vetor (1,1,1), no produto interno usual do R^3;

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. Precisamos encontrar uma base para o complemento ortogonal de um subespaço gerado pelo vetor , usando o produto interno usual do . Para isso, vamos precisar entender o que é o complemento ortogonal e como encontrar vetores que sejam ortogonais ao subespaço dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal . Ele consiste em todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores em . Como é gerado pelo vetor , precisamos encontrar todos os vetores que satisfazem a condição de serem ortogonais a .

Passo 3

Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto interno entre eles deve ser zero. O produto interno padrão no lang<= u, v rang<= = u1v1 + u2v2 + u3v3 é dado por:
x cdot 1 + y cdot 1 + z cdot 1 = x + y + z = 0
Aplicando isso aos vetores e , temos:
Portanto, a condição para que esteja em é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma base para o conjunto de vetores que satisfazem . Esse conjunto forma um subespaço vetorial de dimensão 2 em , então precisamos de dois vetores linearmente independentes que satisfaçam a equação.

Passo 5

Vamos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo:
  1. Se escolhermos , a equação fica . Então, podemos escolher e , obtendo o vetor .
  2. Se escolhermos , a equação fica . Então, podemos escolher e , obtendo o vetor .

Passo 6

Verificamos se os vetores e são linearmente independentes. Como nenhuma combinação linear não trivial de um pode gerar o outro, eles são de fato linearmente independentes.

Resposta

Uma base para é .

Exercícios relacionados