Para os subespaços vetoriais
, determine uma base para
no produto interno indicado:
gerado pelo vetor
, no produto interno usual do
;
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. Precisamos encontrar uma base para o complemento ortogonal
de um subespaço
gerado pelo vetor
, usando o produto interno usual do
. Para isso, vamos precisar entender o que é o complemento ortogonal e como encontrar vetores que sejam ortogonais ao subespaço dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal
. Ele consiste em todos os vetores em
que são ortogonais a todos os vetores em
. Como
é gerado pelo vetor
, precisamos encontrar todos os vetores
que satisfazem a condição de serem ortogonais a
.
Passo 3
Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto interno entre eles deve ser zero. O produto interno padrão no
é dado por:
Aplicando isso aos vetores
e
, temos:
Portanto, a condição para que
esteja em
é
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma base para o conjunto de vetores que satisfazem
. Esse conjunto forma um subespaço vetorial de dimensão 2 em
, então precisamos de dois vetores linearmente independentes que satisfaçam a equação.
Passo 5
Vamos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo:
- Se escolhermos
, a equação fica . Então, podemos escolher e , obtendo o vetor . - Se escolhermos
, a equação fica . Então, podemos escolher e , obtendo o vetor .
Passo 6
Verificamos se os vetores
e
são linearmente independentes. Como nenhuma combinação linear não trivial de um pode gerar o outro, eles são de fato linearmente independentes.
Resposta
Uma base para
é
.