Use a regra de Cramer para resolver cada um dos seguintes sistemas:
(d) x1+3 x2+x3=1
2 x1+x2+x3=5
-2 x1+2 x2-x3=-8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer! A matéria que vamos usar aqui envolve sistemas lineares e determinantes. A Regra de Cramer é uma técnica que nos ajuda a encontrar as soluções de sistemas de equações lineares usando determinantes. Para isso, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes e os determinantes das matrizes substituindo cada coluna pela coluna dos termos constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Olha só:
A = 1 & 3 & 1 2 & 1 & 1 -2 & 2 & -1
Essa matriz é formada pelos números que estão na frente das incógnitas , e nas equações.

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot 2) - 3 cdot (2 cdot (-1) - 1 cdot (-2)) + 1 cdot (2 cdot 2 - 1 cdot (-2)) . O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem uma solução única. Se o determinante for diferente de zero, seguimos com a Regra de Cramer. Vamos calcular:
det(A) = 1 cdot (-1 - 2) - 3 cdot (-2 + 2) + 1 cdot (4 + 2)
det(A) = 1 cdot (-3) - 3 cdot 0 + 1 cdot 6 = -3 + 0 + 6 = 3
Como , o sistema tem uma solução única.

Passo 4

Vamos agora calcular os determinantes das matrizes A1 = 1 & 3 & 1 5 & 1 & 1 -8 & 2 & -1 , det(A1) = 1 cdot (1 cdot (-1) - 1 cdot 2) - 3 cdot (5 cdot (-1) - 1 cdot (-8)) + 1 cdot (5 cdot 2 - 1 cdot (-8)) e det(A1) = 1 cdot (-1 - 2) - 3 cdot (-5 + 8) + 1 cdot (10 + 8) , que são as matrizes que substituem a coluna de det(A1) = 1 cdot (-3) - 3 cdot 3 + 1 cdot 18 = -3 - 9 + 18 = 6 , e pela coluna dos termos constantes, respectivamente.
Primeiro, a matriz (substituindo a primeira coluna):
Calculando :

Passo 5

Agora, a matriz A2 = 1 & 1 & 1 2 & 5 & 1 -2 & -8 & -1 (substituindo a segunda coluna):
det(A2) = 1 cdot (5 cdot (-1) - 1 cdot (-8)) - 1 cdot (2 cdot (-1) - 1 cdot (-2)) + 1 cdot (2 cdot (-8) - 5 cdot (-2))
Calculando det(A2) = 1 cdot (-5 + 8) - 1 cdot (-2 + 2) + 1 cdot (-16 + 10) :
det(A2) = 1 cdot 3 - 1 cdot 0 + 1 cdot (-6) = 3 + 0 - 6 = -3

Passo 6

Por último, a matriz A3 = 1 & 3 & 1 2 & 1 & 5 -2 & 2 & -8 (substituindo a terceira coluna):
det(A3) = 1 cdot (1 cdot (-8) - 5 cdot 2) - 3 cdot (2 cdot (-8) - 5 cdot (-2)) + 1 cdot (2 cdot 2 - 1 cdot (-2))
Calculando det(A3) = 1 cdot (-8 - 10) - 3 cdot (-16 + 10) + 1 cdot (4 + 2) :
det(A3) = 1 cdot (-18) - 3 cdot (-6) + 1 cdot 6 = -18 + 18 + 6 = 6

Passo 7

Agora que temos todos os determinantes, usamos a Regra de Cramer para encontrar as soluções:
x1 = det(A1)det(A) = 63 = 2
x2 = det(A2)det(A) = -33 = -1
x3 = det(A3)det(A) = 63 = 2

Resposta

A solução do sistema é , e .

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