Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz e precisamos encontrar o valor de tal que o inverso dessa matriz, , seja igual à sua transposta, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes inversas e transpostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a inversa de uma matriz. Para uma matriz quadrada , a inversa satisfaz , onde é a matriz identidade. Já a transposta é a matriz obtida trocando as linhas pelas colunas de .
Passo 3
O enunciado diz que . Isso significa que ao multiplicarmos pela sua transposta, devemos obter a matriz identidade: . Vamos calcular essa multiplicação.
Passo 4
Primeiro, calculamos a transposta de :
Passo 5
Agora, multiplicamos por :
Passo 6
Vamos multiplicar as matrizes:
Passo 7
Simplificando, vemos que os termos fora da diagonal ficam zerados:
M cdot M^T = [cc 34 + K^2 & 0 0 & K^2 + 34 ]
Passo 8
Como M cdot M^T deve ser igual à matriz identidade I = [cc1 & 0 0 & 1], temos as seguintes equações:
34 + K^2 = 1
e
K^2 + 34 = 1
Passo 9
Resolvendo a equação para K^2:
34 + K^2 = 1 K^2 = 1 - 34 K^2 = 14
Passo 10
Agora, encontramos K tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
K = pm 12
Resposta
O valor de K que satisfaz M^-1 = M^T é K = 12 ou K = -12.