Dada a matriz M=[ccraiz32 & K -K & raiz32]. Determine K para que M^-1=M^T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz M=[ccraiz32 & K -K & raiz32] e precisamos encontrar o valor de K tal que o inverso dessa matriz, M^-1, seja igual à sua transposta, M^T. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes inversas e transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a inversa de uma matriz. Para uma matriz quadrada M, a inversa M^-1 satisfaz M cdot M^-1 = I, onde I é a matriz identidade. Já a transposta M^T é a matriz obtida trocando as linhas pelas colunas de M.

Passo 3

O enunciado diz que M^-1 = M^T. Isso significa que ao multiplicarmos M pela sua transposta, devemos obter a matriz identidade: M cdot M^T = I. Vamos calcular essa multiplicação.

Passo 4

Primeiro, calculamos a transposta de M:
M^T = [ccraiz32 & -K K & raiz32]

Passo 5

Agora, multiplicamos M por M^T:
M cdot M^T = [ccraiz32 & K -K & raiz32] cdot [ccraiz32 & -K K & raiz32]

Passo 6

Vamos multiplicar as matrizes:
M cdot M^T &= [cc (raiz32)^2 + K cdot K & raiz32 cdot (-K) + K cdot raiz32 -K cdot raiz32 + raiz32 cdot K & (-K) cdot K + (raiz32)^2

Passo 7

Simplificando, vemos que os termos fora da diagonal ficam zerados:
M cdot M^T = [cc 34 + K^2 & 0 0 & K^2 + 34 ]

Passo 8

Como M cdot M^T deve ser igual à matriz identidade I = [cc1 & 0 0 & 1], temos as seguintes equações:
34 + K^2 = 1
e
K^2 + 34 = 1

Passo 9

Resolvendo a equação para K^2:
34 + K^2 = 1 K^2 = 1 - 34 K^2 = 14

Passo 10

Agora, encontramos K tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
K = pm 12

Resposta

O valor de K que satisfaz M^-1 = M^T é K = 12 ou K = -12.

Exercícios relacionados