Dada a matriz M=(lll1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1), faça:
  1. Calcule o determinante de M usando o procedimento de Laplace?
    A matriz Mé inversível? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 . A gente precisa calcular o determinante dessa matriz usando o procedimento de Laplace e depois verificar se a matriz é inversível. Para isso, vamos precisar entender como calcular determinantes e o que faz uma matriz ser inversível.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz M = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 usando a expansão de Laplace. A expansão de Laplace é uma técnica para calcular determinantes expandindo ao longo de uma linha ou coluna. Geralmente, escolhemos a que tiver mais zeros para facilitar, mas aqui vamos escolher a primeira linha.
A matriz é:
Vamos expandir o determinante ao longo da primeira linha.

Passo 3

A fórmula para a expansão de Laplace na primeira linha é:
det(M) = a11 cdot C11 + a12 cdot C12 + a13 cdot C13
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Calculando cada cofator:
  1. Para 1 & 2 1 & 1 :
    • Removemos a primeira linha e a primeira coluna: 0 & 2 1 & 1
    • O determinante desse menor é 0 & 1 1 & 1 .
    • Cofator: .
  2. Para :
    • Removemos a primeira linha e a segunda coluna:
    • O determinante desse menor é .
    • Cofator: .
  3. Para :
    • Removemos a primeira linha e a terceira coluna:
    • O determinante desse menor é .
    • Cofator: .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula da expansão de Laplace:
det(M) = (1)(-1) + (2)(2) + (1)(-1) = -1 + 4 -1 = 2

Resposta

O determinante da matriz é . Como o determinante é diferente de zero, a matriz é inversível.

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