Encontre o conjunto de geradores para cada espaço abaixo:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o conjunto de geradores do espaço
, que é definido por todos os vetores
em
que satisfazem a equação
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com subespaços vetoriais e geração de espaços. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar os vetores desse espaço em termos de parâmetros livres e depois identificar os vetores que vão gerar todo o espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação
para uma das variáveis em termos das outras. Geralmente, escolhemos uma variável para expressar em função das outras que serão os parâmetros livres. Vamos escolher
:
Passo 3
Agora, podemos expressar qualquer vetor
em
usando os parâmetros livres
e
. Então, temos:
Passo 4
Vamos reescrever o vetor de uma forma que destaque os parâmetros
e
:
Isso significa que qualquer vetor em
pode ser obtido como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 5
Os vetores que multiplicamos pelos parâmetros livres são os geradores do espaço
. Para garantir que eles realmente gerem todo o espaço e que não sejam múltiplos entre si (ou seja, que sejam lineares independentes), observamos que não há escala constante que transforma um em outra.
Resposta
O conjunto de geradores para o espaço
é: