Encontre o conjunto de geradores para cada espaço abaixo: V=(x, y, z) in R^3 ; x-2 y+3 z=0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o conjunto de geradores do espaço V, que é definido por todos os vetores (x, y, z) em R^3 que satisfazem a equação x - 2y + 3z = 0. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente trabalhando com subespaços vetoriais e geração de espaços. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar os vetores desse espaço em termos de parâmetros livres e depois identificar os vetores que vão gerar todo o espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação x - 2y + 3z = 0 para uma das variáveis em termos das outras. Geralmente, escolhemos uma variável para expressar em função das outras que serão os parâmetros livres. Vamos escolher x:
x = 2y - 3z

Passo 3

Agora, podemos expressar qualquer vetor (x, y, z) em V usando os parâmetros livres y e z. Então, temos:
(x, y, z) = (2y - 3z, y, z)

Passo 4

Vamos reescrever o vetor de uma forma que destaque os parâmetros y e z:
(x, y, z) = y cdot (2, 1, 0) + z cdot (-3, 0, 1)
Isso significa que qualquer vetor em V pode ser obtido como uma combinação linear dos vetores (2, 1, 0) e (-3, 0, 1).

Passo 5

Os vetores que multiplicamos pelos parâmetros livres são os geradores do espaço V. Para garantir que eles realmente gerem todo o espaço e que não sejam múltiplos entre si (ou seja, que sejam lineares independentes), observamos que não há escala constante que transforma um em outra.

Resposta

O conjunto de geradores para o espaço V é:
, (2, 1, 0), , (-3, 0, 1) ,

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