Dada a matriz M=(lll1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1), faça:
3. Calcule a inversa de M e resolva o sistema abaixo:
rll x+2 y+z & =1 y+2 z & = & -4 x+y+z & = & 2
Justifique todas as suas respostas! Não é permitido o uso de Celular!
Boa Prova

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a inversa da matriz e, com ela, resolver o sistema de equações dado. Isso envolve conceitos de matrizes, determinantes e álgebra linear, então vamos precisar entender como calcular a inversa de uma matriz e usar essa inversa para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a matriz M = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1 tem inversa. Para isso, precisamos calcular o determinante de det(M) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . Se o determinante for diferente de zero, a matriz é inversível.
M = a & b & c d & e & f g & h & i
O determinante ( det(M) = 1(1 cdot 1 - 2 cdot 1) - 2(0 cdot 1 - 2 cdot 1) + 1(0 cdot 1 - 1 cdot 1) ) de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(M) = 1(1 - 2) - 2(0 - 2) + 1(0 - 1)
Onde:
det(M) = 1(-1) - 2(-2) + 1(-1)
Aplicando para nossa matriz:
det(M) = -1 + 4 -1 = 2
Como , a matriz tem inversa.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de 1 & 2 1 & 1 = (1)(1) - (2)(1) = 1 - 2 = -1 , que é necessária para calcular a inversa. A adjunta é a matriz transposta dos cofatores de 0 & 2 1 & 1 = (0)(1) - (2)(1) = 0 - 2 = -2 . Primeiro, precisamos encontrar os cofatores de cada elemento de C = -1 & 2 & -1 2 & -1 & -1 1 & -2 & 1 .
Os cofatores são determinantes de menores, com sinais alternados. Vamos calcular cada um:
Para :
Cofator
Para :
Cofator
Continuando assim para todos os elementos:

Passo 4

Agora, transpondo a matriz de cofatores para obter a adjunta ( adj(M) = C^T = -1 & 2 & 1 2 & -1 & -2 -1 & -1 & 1 ):

Passo 5

Com a adjunta e o determinante, podemos calcular a inversa de M^-1 = 1det(M) times adj(M) usando a fórmula:
M^-1 = 12 times -1 & 2 & 1 2 & -1 & -2 -1 & -1 & 1 = -0.5 & 1 & 0.5 1 & -0.5 & -1 -0.5 & -0.5 & 0.5
Substituindo os valores:

[
M^{-1} = \frac{1}{2} \times


]

Passo 6

Agora que temos a inversa de x y z , vamos resolver o sistema de equações. Podemos representar o sistema na forma matricial 1 -4 2 .
Para encontrar x y z , multiplicamos ambos os lados pela inversa de x y z = M^-1 cdot 1 -4 2 :
x = (-0.5)(1) + (1)(-4) + (0.5)(2) = -0.5 -4 +1 = -3.5
Vamos fazer a multiplicação:
y = (1)(1) + (-0.5)(-4) + (-1)(2) = 1 + 2 -2 = 1
z = (-0.5)(1) + (-0.5)(-4) + (0.5)(2) = -0.5 +2 +1 = 2.5

Resposta

A solução do sistema é:
x = -3.5, y = 1, z = 2.5

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