A matriz M é invertível e verifica (3 M^-1)^t=[ccc1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1], determine M.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz 1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1 que é invertível e que satisfaz a equação . O conteúdo envolvido aqui inclui matrizes, inversas e transpostas. Para resolver, vamos precisar conhecer como manipular essas operações matemáticas básicas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada. A transposta de um produto escalar é igual ao produto escalar da transposta. Ou seja, 3 (M^-1)^t = 1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1 . Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, isolamos (M^-1)^t = 13 1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1 dividindo ambos os lados por 3:

Passo 4

Sabemos que a transposta da inversa de uma matriz é igual à inversa da transposta da matriz. Ou seja, (M^t)^-1 = 13 1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1 . Substituindo na equação:

Passo 5

Para encontrar M^t = 3 ( 1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1 )^-1 , invertemos ambos os lados da equação:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a inversa da matriz 1 & 3 & -3 0 & -1 & 2 1 & -2 & 1. Primeiro, calculamos o determinante de det(A) = 1 cdot (-1 cdot 1 - 2 cdot (-2)) - 3 cdot (0 cdot 1 - 2 cdot 1) + (-3) cdot (0 cdot (-2) - (-1) cdot 1) = 3 + 6 - 3 = 6 :

Passo 7

Com o determinante adj(A) = 3 & 3 & 3 2 & 4 & -2 1 & 5 & -1 , calculamos a adjunta de (transposta da matriz dos cofatores):

Passo 8

Então, a inversa de A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 16 3 & 3 & 3 2 & 4 & -2 1 & 5 & -1 = 12 & 12 & 12 13 & 23 & -13 16 & 56 & -16 é:

Passo 9

Voltando à equação para M^t = 3 cdot A^-1 = 3 cdot 12 & 12 & 12 13 & 23 & -13 16 & 56 & -16 = 32 & 32 & 32 1 & 2 & -1 12 & 52 & -12 :

Passo 10

Finalmente, para achar M = ( M^t )^t = 32 & 1 & 12 32 & 2 & 52 32 & -1 & -12 , tiramos a transposta de :

Resposta

A matriz M = dfrac32 & 1 & dfrac12 dfrac32 & 2 & dfrac52 dfrac32 & -1 & -dfrac12 é:

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