Demonstrar que sendo u, v e w vetores dois a dois ortogonais, então
a) |u+v|^2=|u|^2+|v|^2.
b) |u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|w|^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar duas propriedades sobre vetores que são dois a dois ortogonais. Ou seja, temos três vetores u, v e w que são perpendiculares entre si. A matéria envolve álgebra vetorial, especialmente o conceito de produto interno e norma de vetores. Para resolver, vamos precisar saber que vetores ortogonais têm produto interno zero e como calcular a norma de um vetor.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) do exercício: mostrar que |u+v|^2=|u|^2+|v|^2.
Primeiro, lembramos que a norma de um vetor a é dada por |a| = raiza cdot a, então |a|^2 = a cdot a.

Passo 3

Vamos calcular |u+v|^2 usando o produto interno:
|u+v|^2 = (u+v) cdot (u+v)

Passo 4

Expandindo o produto interno:
(u+v) cdot (u+v) = u cdot u + u cdot v + v cdot u + v cdot v

Passo 5

Simplificando, sabemos que u cdot v = v cdot u e como os vetores são ortogonais, u cdot v = 0. Então:
u cdot u + 0 + 0 + v cdot v = |u|^2 + |v|^2

Passo 6

Portanto, mostramos que:
|u+v|^2 = |u|^2 + |v|^2

Passo 7

Agora, vamos para a parte b): mostrar que |u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|w|^2.

Passo 8

Usando a mesma lógica, calculamos |u+v+w|^2:
|u+v+w|^2 = (u+v+w) cdot (u+v+w)

Passo 9

Expandindo o produto interno:
u cdot u + u cdot v + u cdot w + v cdot u + v cdot v + v cdot w + w cdot u + w cdot v + w cdot w

Passo 10

Como u, v e w são todos ortogonais entre si, todos os produtos cruzados ( u cdot v, u cdot w, etc.) são iguais a zero. Então, sobra:
|u|^2 + |v|^2 + |w|^2

Resposta

Assim, demonstramos que:
a) |u+v|^2=|u|^2+|v|^2
b) |u+v+w|^2=|u|^2+|v|^2+|w|^2

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