Demonstrar que sendo
e
vetores dois a dois ortogonais, então
a)
.
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar duas propriedades sobre vetores que são dois a dois ortogonais. Ou seja, temos três vetores
,
e
que são perpendiculares entre si. A matéria envolve álgebra vetorial, especialmente o conceito de produto interno e norma de vetores. Para resolver, vamos precisar saber que vetores ortogonais têm produto interno zero e como calcular a norma de um vetor.
Passo 2
Vamos começar com a parte a) do exercício: mostrar que
.
Primeiro, lembramos que a norma de um vetor
é dada por
, então
.
Passo 3
Vamos calcular
usando o produto interno:
Passo 4
Expandindo o produto interno:
Passo 5
Simplificando, sabemos que
e como os vetores são ortogonais,
. Então:
Passo 6
Portanto, mostramos que:
Passo 7
Agora, vamos para a parte b): mostrar que
.
Passo 8
Usando a mesma lógica, calculamos
:
Passo 9
Expandindo o produto interno:
Passo 10
Como
,
e
são todos ortogonais entre si, todos os produtos cruzados (
,
, etc.) são iguais a zero. Então, sobra:
Resposta
Assim, demonstramos que:
a)
b)
a)
b)