Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os autovetores da matriz 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 . Isso envolve entender o que são autovetores e como encontrá-los para uma matriz específica. Vamos precisar usar o conceito de valores próprios (autovalores) e resolver sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um autovetor de uma matriz satisfaz a relação , onde é o autovalor correspondente. Para encontrar os autovetores, precisamos primeiro encontrar os autovalores de .
Passo 3
Para encontrar os autovalores, a gente resolve a equação característica, que é A - lambda I = -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 0 & 0 & -lambda , onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Calculando:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Então, a equação característica é , o que nos dá como único autovalor, com multiplicidade 3.
Passo 5
Com o autovalor 0x + 1y + 0z = 0 0x + 0y + 1z = 0 0x + 0y + 0z = 0 , queremos encontrar os autovetores que satisfazem , ou seja, . Vamos montar o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
A terceira equação não nos dá nenhuma informação adicional.
Então, e , enquanto pode ser qualquer número real.
Passo 7
Portanto, os autovetores são todos os vetores da forma x 0 0 , onde é um número real diferente de zero. Isso significa que a direção dos autovetores está alinhada com o eixo .
Resposta
Os autovetores da matriz x 0 0 são todos os vetores da forma , onde .