Dada a matriz A=|lll0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0| :
Calcule os autovetores

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os autovetores da matriz 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 . Isso envolve entender o que são autovetores e como encontrá-los para uma matriz específica. Vamos precisar usar o conceito de valores próprios (autovalores) e resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um autovetor de uma matriz satisfaz a relação , onde é o autovalor correspondente. Para encontrar os autovetores, precisamos primeiro encontrar os autovalores de .

Passo 3

Para encontrar os autovalores, a gente resolve a equação característica, que é A - lambda I = -lambda & 1 & 0 0 & -lambda & 1 0 & 0 & -lambda , onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que . Calculando:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-lambda) cdot (-lambda) cdot (-lambda) = -lambda^3
Então, a equação característica é , o que nos dá como único autovalor, com multiplicidade 3.

Passo 5

Com o autovalor 0x + 1y + 0z = 0 0x + 0y + 1z = 0 0x + 0y + 0z = 0 , queremos encontrar os autovetores que satisfazem , ou seja, . Vamos montar o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Da segunda equação:
  3. A terceira equação não nos dá nenhuma informação adicional.
Então, e , enquanto pode ser qualquer número real.

Passo 7

Portanto, os autovetores são todos os vetores da forma x 0 0 , onde é um número real diferente de zero. Isso significa que a direção dos autovetores está alinhada com o eixo .

Resposta

Os autovetores da matriz x 0 0 são todos os vetores da forma , onde .

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