Sejam alpha=(1,1),(0,2) e beta=(1,2),(2,1) bases de R^2.
Determine [IR^2]beta^alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá duas bases de , chamadas e , e pede para determinarmos a matriz de mudança de base . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre mudança de base. Para resolver, vamos precisar entender como representar vetores em diferentes bases e construir a matriz que faz essa transição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa matriz representa a identidade mapeada de uma base para outra base . Basicamente, ela nos mostra como os vetores da base são representados na base .

Passo 3

Vamos começar identificando os vetores das bases alpha = (1,1), (0,2) e beta = (1,2), (2,1) :
v = a cdot (1,1) + b cdot (0,2)
Nosso objetivo é expressar cada vetor de como uma combinação linear dos vetores de . Ou seja, para cada vetor , queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 4

Vamos fazer isso para cada vetor de (1,2) = a cdot (1,1) + b cdot (0,2) :
Para o primeiro vetor de 1 = a + 0 cdot b 2 = a + 2b : 2 = 1 + 2b implies 2b = 1 implies b = 0,5
(2,1) = a cdot (1,1) + b cdot (0,2)
Isso nos dá o sistema de equações:
2 = a + 0 cdot b 1 = a + 2b
Da primeira equação, 1 = 2 + 2b implies 2b = -1 implies b = -0,5 . Substituindo na segunda:
Então, as coordenadas do vetor na base são .
Para o segundo vetor de :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, as coordenadas do vetor na base são .

Passo 5

Agora que temos as coordenadas dos vetores de [IR^2]beta^alpha = 1 & 2 0,5 & -0,5 na base , podemos montar a matriz de mudança de base . As colunas dessa matriz são exatamente essas coordenadas:

Resposta

[IR^2]beta^alpha = 1 & 2 12 & -12

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projw u=lang<= u, wrang<=lang<= w, wrang<= w
A função F(u)=projw u é uma transformação linear? Justifique sua resposta.
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Apresente um contraexemplo para mostrar que a recíproca do item (a) é falsa, isto é, não é necessariamente verdade que, se v1, v2, ldots, vn é linearmente independente em V, então T(v1), T(v2), ldots, T(vn) é linearmente independente em W.
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