Sejam
e
bases de
.
Determine
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá duas bases de
, chamadas
e
, e pede para determinarmos a matriz de mudança de base
. Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre mudança de base. Para resolver, vamos precisar entender como representar vetores em diferentes bases e construir a matriz que faz essa transição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa matriz representa a identidade mapeada de uma base
para outra base
. Basicamente, ela nos mostra como os vetores da base
são representados na base
.
Passo 3
Vamos começar identificando os vetores das bases
e
:
Nosso objetivo é expressar cada vetor de
como uma combinação linear dos vetores de
. Ou seja, para cada vetor
, queremos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 4
Vamos fazer isso para cada vetor de
:
Para o primeiro vetor de
:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Então, as coordenadas do vetor
na base
são
.
Para o segundo vetor de
:
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Então, as coordenadas do vetor
na base
são
.
Passo 5
Agora que temos as coordenadas dos vetores de
na base
, podemos montar a matriz de mudança de base
. As colunas dessa matriz são exatamente essas coordenadas: