Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá duas bases de , chamadas e , e pede para determinarmos a matriz de mudança de base . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre mudança de base. Para resolver, vamos precisar entender como representar vetores em diferentes bases e construir a matriz que faz essa transição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Essa matriz representa a identidade mapeada de uma base para outra base . Basicamente, ela nos mostra como os vetores da base são representados na base .
Passo 3
Vamos começar identificando os vetores das bases e :
Nosso objetivo é expressar cada vetor de como uma combinação linear dos vetores de . Ou seja, para cada vetor , queremos encontrar escalares e tais que:
Passo 4
Vamos fazer isso para cada vetor de :
Para o primeiro vetor de :
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, as coordenadas do vetor na base são .
Para o segundo vetor de :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Então, as coordenadas do vetor na base são .
Passo 5
Agora que temos as coordenadas dos vetores de na base , podemos montar a matriz de mudança de base . As colunas dessa matriz são exatamente essas coordenadas: