(Simon & Blume - Exercício 7.21) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções do sistema correspondente: (i) quando o lado direito é b1=ldots=bm=0, e (ii) para um lado direito geral b1, ldots, bm ?
[lll1 & 4 & 3 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta uma matriz de coeficientes de um sistema de equações lineares e pede para a gente analisar quantas soluções esse sistema pode ter em dois casos:
  1. Quando o lado direito das equações é zero (ou seja, o sistema homogêneo).
  2. Para um lado direito geral (valores quaisquer).
Vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e sistemas lineares para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a matriz de coeficientes que temos:
1 & 4 & 3 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1
Para descobrir o número de soluções, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.

Passo 3

Vamos calcular o determinante ( det(A) = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 4 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 1) + 3 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 1) ) da matriz:
det(A) = 1 cdot (1 - 0) - 4 cdot (2 - 0) + 3 cdot (2 - 1) = 1 - 8 + 3 = -4
Calculando passo a passo:

Passo 4

O determinante da matriz é , que é diferente de zero ( ). Isso significa que a matriz é inversível, ou seja, o sistema de equações tem propriedades específicas:
  1. Sistema Homogêneo ( ):
    • Como , o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial, que é todas as variáveis iguais a zero.
  2. Sistema Geral ( qualquer):
    • Novamente, como , para qualquer vetor , o sistema terá uma única solução.

Resposta

Para a matriz dada, o sistema de equações tem uma única solução tanto quando o lado direito é zero quanto para qualquer lado direito geral.

Exercícios relacionados

Nos itens (a)-(g) é apresentado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar pelo menos um axioma que não se verifica.
© V=x in R mid x>0, x+y=x y e k x=x^k.
Dada a matriz A=|lll0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0| :
Calcule os autovetores
Sejam A,B,C e D, nesta ordem, os vértices de um losango cujo lado mede 2 cm. Sendo de 30^circ o ângulo entre o lado AB e a diagonal maior AC, calcule:
|A B times A D| Resp:2 raiz3
(Simon & Blume - Exercício 7.20) Compute o posto de cada uma das seguintes matrizes:
[cc2 & -4 -1 & 2]