(Simon & Blume - Exercício 7.21) As seguintes cinco matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, o que você pode dizer sobre o número de soluções do sistema correspondente: (i) quando o lado direito é , e (ii) para um lado direito geral ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta uma matriz de coeficientes de um sistema de equações lineares e pede para a gente analisar quantas soluções esse sistema pode ter em dois casos:
Quando o lado direito das equações é zero (ou seja, o sistema homogêneo).
Para um lado direito geral (valores quaisquer).
Vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e sistemas lineares para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a matriz de coeficientes que temos:
1 & 4 & 3 2 & 1 & 0 1 & 1 & 1
Para descobrir o número de soluções, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
O determinante da matriz é , que é diferente de zero (). Isso significa que a matriz é inversível, ou seja, o sistema de equações tem propriedades específicas:
Sistema Homogêneo ():
Como , o sistema homogêneo tem apenas a solução trivial, que é todas as variáveis iguais a zero.
Sistema Geral ( qualquer):
Novamente, como , para qualquer vetor , o sistema terá uma única solução.
Resposta
Para a matriz dada, o sistema de equações tem uma única solução tanto quando o lado direito é zero quanto para qualquer lado direito geral.