Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o seguinte: temos um conjunto que inclui todos os números reais positivos (). As operações definidas nesse conjunto são:
Adição: (ou seja, multiplicação comum)
Multiplicação por escalar: (cada número é elevado a uma potência )
Nosso objetivo é verificar se com essas operações forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas de um espaço vetorial e ver se todos eles são satisfeitos nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores que, junto com duas operações (adição e multiplicação por escalar), obedecem a certos axiomas. Esses axiomas garantem que a estrutura se comporte de maneira “bonita” e previsível, tipo como os vetores no plano ou no espaço.
Os principais axiomas que a gente precisa verificar são:
Fechamento pela adição: Somando dois vetores, o resultado deve estar no conjunto.
Comutatividade da adição:
Associatividade da adição:
Existência do vetor zero: Existe um vetor que, quando somado a qualquer outro, não muda ele.
Existência de inversos aditivos: Para cada vetor, existe outro que, somado a ele, dá o vetor zero.
Fechamento pela multiplicação por escalar: Multiplicando um vetor por um escalar, o resultado está no conjunto.
Distributividade em relação à adição de vetores:
Distributividade em relação à adição de escalares:
Associatividade da multiplicação por escalar:
Existência do escalar 1:
Vamos verificar alguns desses axiomas para ver se é mesmo um espaço vetorial.
Passo 3
Verificando o fechamento pela adição:
A adição definida é . Se pegarmos dois números positivos e , o produto deles também é positivo. Portanto, a adição está fechada em .
Verificando a existência do vetor zero:
O vetor zero é aquele que, quando somado a qualquer vetor, não o altera. Vamos ver qual seria esse vetor aqui:
Para isso ser verdade para todo , precisamos que , pois .
Como pertence a (porque ), temos o vetor zero: .
Verificando a existência de inversos aditivos:
Para cada , precisamos de um tal que (o vetor zero). Assim:
⇒
Como , , então . Portanto, cada vetor tem um inverso aditivo dentro de .
Passo 4
Verificando a distributividade em relação à multiplicação por escalar:
Vamos checar se .
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Para que a igualdade seja verdadeira, precisamos que:
Felizmente, isso é uma propriedade das potências: . Então, a distributividade nesse caso está ok.
Verificando a existência do escalar 1:
Precisamos que .
Segundo a definição:
Tá correto!
Passo 5
Verificando a associatividade da multiplicação por escalar:
Vamos ver se .
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Como , a associatividade está válida.
Verificando a distributividade em relação à adição de escalares:
Precisamos que .
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Novamente, tudo certo aqui.
Passo 6
Verificando a comutatividade da adição:
A adição é definida como . Como a multiplicação de números reais é comutativa (), a adição também é comutativa aqui.
Verificando a associatividade da adição:
Precisamos que .
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Como a multiplicação de reais é associativa (), a associatividade da adição também está validada.
Passo 7
Identificando um possível problema:
Até agora, todos os axiomas parecem estar satisfeitos. Mas vamos olhar com mais cuidado para o vetor zero e a multiplicação por escalar quando .
Segundo a definição de multiplicação por escalar:
Por outro lado, o vetor zero definido é . Então, de acordo com os axiomas, deveríamos ter:
Mas, idealmente, deveria resultar no vetor zero, que nesse caso é 1. Então, parece que está tudo certo. Porém, há um problema sutil:
O vetor zero deveria satisfazer para todo , e aqui está atendido. Mas o real problema vem na multiplicação pelos escalares negativos.
No espaço vetorial, deveria ser possível multiplicar por escalares negativos, mas aqui:
Embora pertença a , a operação de multiplicação por escalares negativos não comporta a estrutura padrão de um espaço vetorial, especialmente considerando que não inclui vetores negativos, o que afeta outros axiomas relacionados.
Além disso, a definição das operações não é linear, o que pode causar falhas em axiomas mais complexos.
Passo 8
Conclusão sobre ser ou não um espaço vetorial:
Apesar de muitos axiomas parecerem satisfeitos à primeira vista, a estrutura definida em com essas operações não forma um espaço vetorial. Um dos principais motivos é que a multiplicação por escalar não preserva a estrutura vetorial tradicional, especialmente quando consideramos escalares negativos e as interações mais profundas entre as operações.
Resposta
O conjunto com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois a multiplicação por escalar não satisfaz todos os axiomas necessários, como a linearidade nas operações envolvendo escalares negativos.