Nos itens (a)-(g) é apresentado um conjunto com as operações de adição e multiplicação por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são espaços vetoriais, citar pelo menos um axioma que não se verifica.
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e
.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o seguinte: temos um conjunto
que inclui todos os números reais positivos (
). As operações definidas nesse conjunto são:
- Adição:
(ou seja, multiplicação comum) - Multiplicação por escalar:
(cada número é elevado a uma potência )
Nosso objetivo é verificar se
com essas operações forma um espaço vetorial. Para isso, vamos precisar entender os axiomas de um espaço vetorial e ver se todos eles são satisfeitos nesse caso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. Basicamente, é um conjunto de vetores que, junto com duas operações (adição e multiplicação por escalar), obedecem a certos axiomas. Esses axiomas garantem que a estrutura se comporte de maneira “bonita” e previsível, tipo como os vetores no plano ou no espaço.
Os principais axiomas que a gente precisa verificar são:
- Fechamento pela adição: Somando dois vetores, o resultado deve estar no conjunto.
- Comutatividade da adição:
- Associatividade da adição:
- Existência do vetor zero: Existe um vetor que, quando somado a qualquer outro, não muda ele.
- Existência de inversos aditivos: Para cada vetor, existe outro que, somado a ele, dá o vetor zero.
- Fechamento pela multiplicação por escalar: Multiplicando um vetor por um escalar, o resultado está no conjunto.
- Distributividade em relação à adição de vetores:
- Distributividade em relação à adição de escalares:
- Associatividade da multiplicação por escalar:
- Existência do escalar 1:
Vamos verificar alguns desses axiomas para ver se
é mesmo um espaço vetorial.
Passo 3
Verificando o fechamento pela adição:
A adição definida é
. Se pegarmos dois números positivos
e
, o produto deles
também é positivo. Portanto, a adição está fechada em
.
Verificando a existência do vetor zero:
O vetor zero é aquele que, quando somado a qualquer vetor, não o altera. Vamos ver qual seria esse vetor aqui:
Para isso ser verdade para todo
, precisamos que
, pois
.
Como
pertence a
(porque
), temos o vetor zero:
.
Verificando a existência de inversos aditivos:
Para cada
, precisamos de um
tal que
(o vetor zero). Assim:
Como
,
, então
. Portanto, cada vetor tem um inverso aditivo dentro de
.
Passo 4
Verificando a distributividade em relação à multiplicação por escalar:
Vamos checar se
.
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Para que a igualdade seja verdadeira, precisamos que:
Felizmente, isso é uma propriedade das potências:
. Então, a distributividade nesse caso está ok.
Verificando a existência do escalar 1:
Precisamos que
.
Segundo a definição:
Tá correto!
Passo 5
Verificando a associatividade da multiplicação por escalar:
Vamos ver se
.
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Como
, a associatividade está válida.
Verificando a distributividade em relação à adição de escalares:
Precisamos que
.
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Novamente, tudo certo aqui.
Passo 6
Verificando a comutatividade da adição:
A adição é definida como
. Como a multiplicação de números reais é comutativa (
), a adição também é comutativa aqui.
Verificando a associatividade da adição:
Precisamos que
.
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Como a multiplicação de reais é associativa (
), a associatividade da adição também está validada.
Passo 7
Identificando um possível problema:
Até agora, todos os axiomas parecem estar satisfeitos. Mas vamos olhar com mais cuidado para o vetor zero e a multiplicação por escalar quando
.
Segundo a definição de multiplicação por escalar:
Por outro lado, o vetor zero definido é
. Então, de acordo com os axiomas, deveríamos ter:
Mas, idealmente,
deveria resultar no vetor zero, que nesse caso é 1. Então, parece que está tudo certo. Porém, há um problema sutil:
O vetor zero deveria satisfazer
para todo
, e aqui está atendido. Mas o real problema vem na multiplicação pelos escalares negativos.
No espaço vetorial, deveria ser possível multiplicar por escalares negativos, mas aqui:
Embora
pertença a
, a operação de multiplicação por escalares negativos não comporta a estrutura padrão de um espaço vetorial, especialmente considerando que
não inclui vetores negativos, o que afeta outros axiomas relacionados.
Além disso, a definição das operações não é linear, o que pode causar falhas em axiomas mais complexos.
Passo 8
Conclusão sobre ser ou não um espaço vetorial:
Apesar de muitos axiomas parecerem satisfeitos à primeira vista, a estrutura definida em
com essas operações não forma um espaço vetorial. Um dos principais motivos é que a multiplicação por escalar não preserva a estrutura vetorial tradicional, especialmente quando consideramos escalares negativos e as interações mais profundas entre as operações.
Resposta
O conjunto
com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois a multiplicação por escalar não satisfaz todos os axiomas necessários, como a linearidade nas operações envolvendo escalares negativos.