Sejam
vetores em um espaço vetorial
e
uma transformação linear.
Apresente um contraexemplo para mostrar que a recíproca do item (a) é falsa, isto é, não é necessariamente verdade que, se
é linearmente independente em
, então
é linearmente independente em
.
Apresente um contraexemplo para mostrar que a recíproca do item (a) é falsa, isto é, não é necessariamente verdade que, se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear
entre dois espaços vetoriais
e
. A tarefa é mostrar que a recíproca de uma afirmação anterior (item a) não é verdadeira. Ou seja, mesmo que um conjunto de vetores
seja linearmente independente em
, as imagens desses vetores sob a transformação
,
, podem não ser linearmente independentes em
. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significa linearidade e independência linear, além de construir um exemplo concreto que ilustre essa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto
é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Matemáticamente, isso quer dizer:
Se existe uma combinação não trivial que dá zero (ou seja, nem todos os
são zero), então os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Para mostrar que a recíproca não é verdadeira, precisamos de um contraexemplo. Vamos escolher espaços vetoriais simples para facilitar a visualização. Vamos definir:
-
(o plano bidimensional) -
(a reta real) -
dada por
Essa transformação
pega qualquer vetor do plano e retorna a sua primeira coordenada.
Passo 4
Agora, vamos escolher um conjunto de vetores em
que sejam linearmente independentes. Por exemplo:
Esses vetores são claramente linearmente independentes porque nenhum deles pode ser obtido como múltiplo do outro.
Passo 5
Vamos aplicar a transformação
nesses vetores:
Portanto, as imagens dos vetores sob
são:
Passo 6
Agora, vamos verificar se o conjunto
é linearmente independente em
. Para isso, consideramos a combinação linear:
Simplificando, temos:
O que significa que
deve ser zero, mas
pode ser qualquer número real. Isso mostra que existe uma combinação não trivial (com
) que resulta em zero, indicando que os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
Portanto, mostramos que mesmo que
seja um conjunto de vetores linearmente independente em
, as imagens desses vetores sob a transformação linear
resultam em
, que é um conjunto linearmente dependente em
. Isso confirma que a recíproca do item (a) não é necessariamente verdadeira.