Sejam v1, v2, ldots, vn vetores em um espaço vetorial V e T: V W uma transformação linear.
Apresente um contraexemplo para mostrar que a recíproca do item (a) é falsa, isto é, não é necessariamente verdade que, se v1, v2, ldots, vn é linearmente independente em V, então T(v1), T(v2), ldots, T(vn) é linearmente independente em W.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear entre dois espaços vetoriais e . A tarefa é mostrar que a recíproca de uma afirmação anterior (item a) não é verdadeira. Ou seja, mesmo que um conjunto de vetores seja linearmente independente em , as imagens desses vetores sob a transformação , , podem não ser linearmente independentes em . Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significa linearidade e independência linear, além de construir um exemplo concreto que ilustre essa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto c1 v1 + c2 v2 + ldots + cn vn = 0 implies c1 = c2 = ldots = cn = 0 é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Matemáticamente, isso quer dizer:
Se existe uma combinação não trivial que dá zero (ou seja, nem todos os são zero), então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Para mostrar que a recíproca não é verdadeira, precisamos de um contraexemplo. Vamos escolher espaços vetoriais simples para facilitar a visualização. Vamos definir:
  • (o plano bidimensional)
  • (a reta real)
  • dada por
Essa transformação pega qualquer vetor do plano e retorna a sua primeira coordenada.

Passo 4

Agora, vamos escolher um conjunto de vetores em v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1) que sejam linearmente independentes. Por exemplo:
Esses vetores são claramente linearmente independentes porque nenhum deles pode ser obtido como múltiplo do outro.

Passo 5

Vamos aplicar a transformação T(v1) = T(1, 0) = 1 nesses vetores:
T(v2) = T(0, 1) = 0
T(v1) = 1 e T(v2) = 0
Portanto, as imagens dos vetores sob são:

Passo 6

Agora, vamos verificar se o conjunto c1 cdot 1 + c2 cdot 0 = 0 é linearmente independente em c1 = 0 . Para isso, consideramos a combinação linear:
Simplificando, temos:
O que significa que deve ser zero, mas pode ser qualquer número real. Isso mostra que existe uma combinação não trivial (com ) que resulta em zero, indicando que os vetores são linearmente dependentes.

Resposta

Portanto, mostramos que mesmo que seja um conjunto de vetores linearmente independente em , as imagens desses vetores sob a transformação linear resultam em , que é um conjunto linearmente dependente em . Isso confirma que a recíproca do item (a) não é necessariamente verdadeira.

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© V=x in R mid x>0, x+y=x y e k x=x^k.