Sejam vetores em um espaço vetorial e uma transformação linear.
Apresente um contraexemplo para mostrar que a recíproca do item (a) é falsa, isto é, não é necessariamente verdade que, se é linearmente independente em , então é linearmente independente em .
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear entre dois espaços vetoriais e . A tarefa é mostrar que a recíproca de uma afirmação anterior (item a) não é verdadeira. Ou seja, mesmo que um conjunto de vetores seja linearmente independente em , as imagens desses vetores sob a transformação , , podem não ser linearmente independentes em . Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que significa linearidade e independência linear, além de construir um exemplo concreto que ilustre essa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Matemáticamente, isso quer dizer:
Se existe uma combinação não trivial que dá zero (ou seja, nem todos os são zero), então os vetores são linearmente dependentes.
Passo 3
Para mostrar que a recíproca não é verdadeira, precisamos de um contraexemplo. Vamos escolher espaços vetoriais simples para facilitar a visualização. Vamos definir:
(o plano bidimensional)
(a reta real)
dada por
Essa transformação pega qualquer vetor do plano e retorna a sua primeira coordenada.
Passo 4
Agora, vamos escolher um conjunto de vetores em que sejam linearmente independentes. Por exemplo:
Esses vetores são claramente linearmente independentes porque nenhum deles pode ser obtido como múltiplo do outro.
Passo 5
Vamos aplicar a transformação nesses vetores:
Portanto, as imagens dos vetores sob são:
Passo 6
Agora, vamos verificar se o conjunto é linearmente independente em . Para isso, consideramos a combinação linear:
Simplificando, temos:
O que significa que deve ser zero, mas pode ser qualquer número real. Isso mostra que existe uma combinação não trivial (com ) que resulta em zero, indicando que os vetores são linearmente dependentes.
Resposta
Portanto, mostramos que mesmo que seja um conjunto de vetores linearmente independente em , as imagens desses vetores sob a transformação linear resultam em , que é um conjunto linearmente dependente em . Isso confirma que a recíproca do item (a) não é necessariamente verdadeira.