A equação básica que rege a quantidade de corrente I (em ampères) em um circuito simples RL, com uma resistência R (em ohms), uma indutância L (em henries) e uma força eletromotriz (fem) E (em volts) é . Para um circuito RC consistindo em uma resistência, uma capacitância C (em farads), uma fem, e nenhuma indutância, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é , onde a relação entre carga e corrente elétrica é dada por . Ambas as equações citadas acima são equações diferenciais de primeira ordem. Agora suponha que um filtro do tipo RL tem uma fem de 5 volts, uma resistência de 50 ohms, uma indutância de 1 henry e não tem corrente inicial, ou seja, não há sobra de energia anterior no sistema. Levando em consideração o que foi discutido no texto acima, qual deve ser expressão que corretamente representa a corrente no circuito no instante de tempo arbitrário t?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um circuito RL, que é composto por uma resistência ® e uma indutância (L). A gente precisa encontrar a expressão que representa a corrente elétrica $ i(t) $ no circuito em qualquer instante de tempo $ t $. Para isso, vamos usar a equação diferencial que rege esse tipo de circuito e aplicar alguns conceitos básicos de matemática e física elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
didt + RLi = EL
Aqui, $ \frac{di}{dt} $ representa a taxa de variação da corrente elétrica em relação ao tempo, $ R $ é a resistência em ohms, $ L $ é a indutância em henries, e $ E $ é a força eletromotriz em volts.

Passo 3

Nossa missão é resolver essa equação diferencial para encontrar $ i(t) $. Para resolver equações diferenciais de primeira ordem como essa, a gente usa um método chamado fator integrante. Mas, para facilitar, vamos lembrar que a solução geral dessa equação tem a forma:
i(t)
Isso significa que a corrente vai aumentar de forma exponencial até atingir um valor máximo de $ \frac{E}{R} $.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores fornecidos na questão:
  • $ E = 5 $ volts
  • $ R = 50 $ ohms
  • $ L = 1 $ henry
Substituindo na fórmula:
E = 5

Passo 5

Simplificando os números:
i(t) = 0,1 (1 - e^-50t)
Ou seja:
i(t) = 0,1 (1 - e^-50t) ampères è

Resposta

A expressão que representa a corrente no circuito no instante de tempo $ t $ é:
t

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