Dada a matriz relativas as bases indicadas, encontre a transformação linear, indicando seu domínio, contra-domínio e lei.
c) Considerando as bases canônicas de e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma transformação linear usando uma matriz dada. A gente vai trabalhar com matrizes e transformações lineares, que são conceitos de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar uma matriz por um vetor e identificar o domínio e o contradomínio dessa transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos ver qual é a matriz que a gente tem:
Essa matriz tem 2 linhas e 3 colunas, então ela é uma matriz .
Passo 3
Agora, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Se a matriz é , isso significa que a transformação vai de um espaço de 3 dimensões para um de 2 dimensões. Ou seja, o domínio é e o contradomínio é .
Passo 4
A “lei” da transformação é como ela atua nos vetores. Para achar isso, a gente precisa multiplicar a matriz por um vetor em . Se , então:
Passo 5
Simplificando as contas:
T(x) = x1 - x3 2x1 + x2 + x3
Então, a transformação leva um vetor de para calculando essas combinações lineares dos componentes de .