Dada a matriz relativas as bases indicadas, encontre a transformação linear, indicando seu domínio, contra-domínio e lei.
c) Considerando as bases canônicas de R^2 e R^3
[R]=[ccc 1 & 0 & -1 2 & 1 & 1 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma transformação linear usando uma matriz dada. A gente vai trabalhar com matrizes e transformações lineares, que são conceitos de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como multiplicar uma matriz por um vetor e identificar o domínio e o contradomínio dessa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos ver qual é a matriz que a gente tem:
[R]= 1 & 0 & -1 2 & 1 & 1
Essa matriz tem 2 linhas e 3 colunas, então ela é uma matriz .

Passo 3

Agora, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. Se a matriz é , isso significa que a transformação vai de um espaço de 3 dimensões para um de 2 dimensões. Ou seja, o domínio é e o contradomínio é .

Passo 4

A “lei” da transformação é como ela atua nos vetores. Para achar isso, a gente precisa multiplicar a matriz x1 x2 x3 por um vetor T(x) = [R] cdot x = 1 & 0 & -1 2 & 1 & 1 cdot x1 x2 x3 = 1 cdot x1 + 0 cdot x2 + (-1) cdot x3 2 cdot x1 + 1 cdot x2 + 1 cdot x3 em . Se , então:

Passo 5

Simplificando as contas:
T(x) = x1 - x3 2x1 + x2 + x3
Então, a transformação leva um vetor de para calculando essas combinações lineares dos componentes de .

Resposta

A transformação linear é definida por:
T: R^3 R^2
com a lei
T( x1 x2 x3 ) = x1 - x3 2x1 + x2 + x3

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