Obtenha uma base do subespaço do R^3 formado pelos autovetores associados ao MENOR (ou único, se hover apenas um) autovalor de S.
(ESCREVA A RESPOSTA ABAIXO DO QUADRO, AQUI NA PRIMEIRA PÁGINA)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer obter uma base do subespaço de R^3 formado pelos autovetores associados ao menor (ou único, se houver apenas um) autovalor de S. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar saber como encontrar os autovalores de uma matriz e, em seguida, como determinar os autovetores correspondentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz S. Para isso, resolvemos a equação característica, que é dada por:
det(S - lambda I) = 0
Aqui, lambda representa os autovalores e I é a matriz identidade de mesma dimensão que S. Calculando esse determinante, obtemos um polinômio cujo grau é igual à dimensão da matriz (neste caso, 3), e as soluções desse polinômio são os autovalores.

Passo 3

Após encontrar os autovalores, identificamos o menor entre eles. Se houver apenas um autovalor, esse será o único que vamos considerar. Esse menor autovalor é importante porque estamos interessados nos autovetores associados a ele.

Passo 4

Com o menor autovalor lambdamin em mãos, vamos determinar os autovetores correspondentes. Para isso, resolvemos o sistema linear:
(S - lambdamin I)v = 0
Aqui, v representa o autovetor que queremos encontrar. Resolver esse sistema nos dará todos os vetores não nulos que satisfazem a equação, formando assim o subespaço próprio associado a lambdamin.

Passo 5

Os autovetores obtidos no passo anterior podem ser escalaramente dependentes ou independentes. Para formar uma base desse subespaço, precisamos garantir que os vetores sejam linearmente independentes. Normalmente, isso significa que escolheremos vetores que não são múltiplos uns dos outros.

Resposta

A base do subespaço de R^3 formado pelos autovetores associados ao menor (ou único) autovalor de S é o conjunto de vetores linearmente independentes obtidos resolvendo (S - lambdamin I)v = 0. Esses vetores formam a base desejada.

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