Encontre a solução geral do sistema linear homogeno abaixo e confirme que os vetores-linha da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução:
r x1-x3+2 x4=0 -x1+x2+2 x3+x4=0 2 x1+2 x2+x3+3 x4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares homogêneo juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar todas as soluções possíveis para as variáveis e que satisfazem as três equações dadas. Além disso, depois de achar essas soluções, vamos verificar se os vetores das linhas da matriz de coeficientes são ortogonais aos vetores solução que encontramos. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como sistemas lineares, matriz aumentada e ortogonalidade de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso vai facilitar a nossa vida para resolver o sistema usando métodos de eliminação, como o método de Gauss.
1 & 0 & -1 & 2 & | & 0 -1 & 1 & 2 & 1 & | & 0 2 & 2 & 1 & 3 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar os termos abaixo do primeiro pivô (que é 1 na primeira linha e primeira coluna). Para eliminar o -1 da segunda linha, primeira coluna, somamos a primeira linha à segunda linha:
Linha2 = Linha2 + Linha1:
1 & 0 & -1 & 2 & | & 0 0 & 1 & 1 & 3 & | & 0 2 & 2 & 1 & 3 & | & 0

Passo 4

Em seguida, para eliminar o 2 da terceira linha, primeira coluna, subtraímos 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 * Linha1:
1 & 0 & -1 & 2 & | & 0 0 & 1 & 1 & 3 & | & 0 0 & 2 & 3 & -1 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos eliminar o 2 na terceira linha, segunda coluna. Para isso, subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 * Linha2:
1 & 0 & -1 & 2 & | & 0 0 & 1 & 1 & 3 & | & 0 0 & 0 & 1 & -7 & | & 0

Passo 6

Com essa matriz triangular superior, podemos escrever as equações correspondentes:
x1 - x3 + 2x4 = 0 x2 + x3 + 3x4 = 0 x3 - 7x4 = 0
Vamos resolver de baixo para cima. A terceira equação nos dá:
x3 = 7x4

Passo 7

Substituindo x2 + 7x4 + 3x4 = 0 x2 + 10x4 = 0 x2 = -10x4 na segunda equação:

Passo 8

Agora, substituímos x1 - 7x4 + 2x4 = 0 x1 - 5x4 = 0 x1 = 5x4 na primeira equação:

Passo 9

Agora, sabemos que x1 = 5t x2 = -10t x3 = 7t x4 = t é uma variável livre, ou seja, pode assumir qualquer valor real. Vamos chamar , onde é um parâmetro real. Então, temos:

Passo 10

Portanto, a solução geral do sistema é:
x1 x2 x3 x4 = t 5 -10 7 1 , t in R

Passo 11

Agora, vamos verificar a ortogonalidade. A matriz de coeficientes do sistema original é:
A = 1 & 0 & -1 & 2 -1 & 1 & 2 & 1 2 & 2 & 1 & 3
E o vetor solução que encontramos é:
x = 5 -10 7 1
Para verificar se os vetores das linhas de são ortogonais a , calculamos o produto escalar de cada linha com . Se o produto escalar for zero, os vetores são ortogonais.

Passo 12

Vamos calcular:
  1. Primeira linha de 1 cdot 5 + 0 cdot (-10) + (-1) cdot 7 + 2 cdot 1 = 5 + 0 -7 + 2 = 0 e -1 cdot 5 + 1 cdot (-10) + 2 cdot 7 + 1 cdot 1 = -5 -10 +14 +1 = 0 :
2 cdot 5 + 2 cdot (-10) + 1 cdot 7 + 3 cdot 1 = 10 -20 +7 +3 = 0
  1. Segunda linha de e :
  1. Terceira linha de e :

Resposta

A solução geral do sistema é:
x1 x2 x3 x4 = t 5 -10 7 1 , t in R
E confirmamos que os vetores das linhas da matriz de coeficientes são ortogonais ao vetor solução encontrado.

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