Dada a transformação linear TA: R^3 R^3
TA(l x y z )=(c -x+z -x-y+z x+y-z )
determine a matriz canônica A que a implementa e calcule TA(c1 -1 -1).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma transformação linear 1 -1 -1 que pega um vetor em e transforma em outro vetor também em . O exercício pede para a gente encontrar a matriz canônica que representa essa transformação e, depois, usar essa matriz para calcular aplicado ao vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear e a sua matriz canônica. Uma transformação linear e1 = 1 0 0, e2 = 0 1 0, e3 = 0 0 1 pode ser representada por uma matriz de tamanho tal que .
Para achar a matriz , a gente precisa ver como transforma os vetores da base canônica de , que são:
Então, vamos aplicar em cada um desses vetores.

Passo 3

Vamos calcular TA(1 0 0) = -1 + 0 -1 - 0 + 0 1 + 0 - 0 = -1 -1 1 :
TA(0 1 0) = -0 + 0 -0 - 1 + 0 0 + 1 - 0 = 0 -1 1
Agora, TA(0 0 1) = -0 + 1 -0 - 0 + 1 0 + 0 - 1 = 1 1 -1 :
E por último, :

Passo 4

Agora que temos as imagens dos vetores da base canônica, podemos montar a matriz canônica A = TA(e1) & TA(e2) & TA(e3) = -1 & 0 & 1 -1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 . Ela é formada colocando essas imagens como colunas na mesma ordem:

Passo 5

Agora, vamos usar essa matriz 1 -1 -1 para calcular TA(1 -1 -1) = A cdot 1 -1 -1 aplicado ao vetor A cdot 1 -1 -1 = -1 cdot 1 + 0 cdot (-1) + 1 cdot (-1) -1 cdot 1 + (-1) cdot (-1) + 1 cdot (-1) 1 cdot 1 + 1 cdot (-1) + (-1) cdot (-1) = -1 + 0 -1 -1 +1 -1 1 -1 +1 = -2 -1 1 . Isso significa que a gente vai multiplicar a matriz por esse vetor:
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo:

Resposta

A matriz canônica A = -1 & 0 & 1 -1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 que implementa a transformação 1 -1 -1 é:
-2 -1 1
E o resultado de é:

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