Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
© O conjunto F subset F(R, R) formado pelas funções f tais que f(x+1)=f(x) para todo x in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se um certo conjunto de funções é um subespaço vetorial. Aqui, estamos olhando para o conjunto F, que é formado por todas as funções f que satisfazem a condição f(x+1) = f(x) para todo x real. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios que definem isso. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Em termos simples, um subespaço vetorial de um espaço vetorial maior precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor nulo: Ou seja, a função que sempre retorna zero precisa estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se você pegar duas funções no conjunto e somar elas, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar uma função no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições para o conjunto F.

Passo 3

1. Contém o vetor nulo:
A função nula, f(x) = 0, precisa estar em F. Vamos ver se ela satisfaz f(x+1) = f(x):
f(x+1) = 0 = f(x)
Sim, a função nula está no conjunto. Primeira condição satisfeita!
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções quaisquer f e g em F. Isso significa que:
f(x+1) = f(x) e g(x+1) = g(x) forall x in R
Agora, consideramos a função h = f + g. Vamos verificar se h também está em F:
h(x+1) = f(x+1) + g(x+1) = f(x) + g(x) = h(x)
Então, a soma de duas funções que satisfazem a condição também a satisfaz. Segunda condição satisfeita!
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, pegamos uma função f em F e um escalar c in R. Definimos k = c cdot f. Vamos verificar se k está em F:
k(x+1) = c cdot f(x+1) = c cdot f(x) = k(x)
Portanto, a multiplicação por um escalar mantém a condição. Terceira condição satisfeita!

Resposta

Como o conjunto F satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor nulo, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), ele é um subespaço vetorial de F(R, R).

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