Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
© O conjunto
formado pelas funções
tais que
para todo
.
© O conjunto
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se um certo conjunto de funções é um subespaço vetorial. Aqui, estamos olhando para o conjunto
, que é formado por todas as funções
que satisfazem a condição
para todo
real. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios que definem isso. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Em termos simples, um subespaço vetorial de um espaço vetorial maior precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor nulo: Ou seja, a função que sempre retorna zero precisa estar no conjunto.
- Fechado sob adição: Se você pegar duas funções no conjunto e somar elas, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se você pegar uma função no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar essas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor nulo:
A função nula,
, precisa estar em
. Vamos ver se ela satisfaz
:
Sim, a função nula está no conjunto. Primeira condição satisfeita!
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções quaisquer
e
em
. Isso significa que:
Agora, consideramos a função
. Vamos verificar se
também está em
:
Então, a soma de duas funções que satisfazem a condição também a satisfaz. Segunda condição satisfeita!
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, pegamos uma função
em
e um escalar
. Definimos
. Vamos verificar se
está em
:
Portanto, a multiplicação por um escalar mantém a condição. Terceira condição satisfeita!
Resposta
Como o conjunto
satisfaz todas as três condições necessárias (contém o vetor nulo, é fechado sob adição e multiplicação por escalar), ele é um subespaço vetorial de
.