Determine o tipo de cônica para a equação 7 x^2-5 x y+3 y^2-6 x+ 4 y+1=0 * *

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação do segundo grau que envolve 7x^2 - 5xy + 3y^2 - 6x + 4y + 1 = 0 e :
Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de cônica essa equação representa. Para isso, vamos precisar usar a teoria das cônicas, especificamente a fórmula do discriminante que nos ajuda a identificar se é uma elipse, hipérbole ou parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a forma geral da equação da cônica:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante ( De) que é dado por:
De
Substituindo os valores que encontramos:
De
De

Passo 4

O valor do discriminante nos indica o tipo de cônica:
  • Se , é uma hipérbole.
  • Se , é uma parábola.
  • Se , é uma elipse (e, se e , é um círculo).
No nosso caso, que é menor que zero, então estamos lidando com uma elipse.

Resposta

A equação representa uma elipse.

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