Dada a matriz , tal que matrizes em simétrica ou antissimétrica. Calcule det . Resp:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de ordem onde os elementos são definidos de acordo com algumas condições. Nosso objetivo é:
  1. Calcular (onde é a transposta de ).
  2. Calcular .
  3. Classificar essas matrizes como simétricas ou antissimétricas.
  4. Calcular o determinante de .
Para isso, vamos precisar entender como construir a matriz , como tirar a transposta dela, realizar as operações de subtração e multiplicação de matrizes, além de saber o que significa uma matriz ser simétrica ou antissimétrica. Também vamos usar a fórmula do determinante para matrizes .

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz com base nas condições dadas:
Vamos montar a matriz elemento por elemento:
  • Para :
    • :
    • : então
    • : então
  • Para :
    • : então
    • :
    • : então
  • Para :
    • : então
    • : então
    • :
Assim, a matriz fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a transposta de , que é . A transposta de uma matriz é obtida trocando as linhas pelas colunas. Então, temos:

Passo 4

Vamos calcular . Para isso, subtraímos cada elemento de do respectivo elemento de :

[
A - A^{t} =


=
]
Simplificando:

Passo 5

Vamos analisar se é simétrica ou antissimétrica.
  • Matriz Simétrica:
  • Matriz Antissimétrica:
Vamos verificar a antissimetria:
Como , a matriz é antissimétrica.

Passo 6

Agora, vamos calcular . A multiplicação de duas matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz.
Vamos calcular cada elemento:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (1,3):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
  • Elemento (2,3):
  • Elemento (3,1):
  • Elemento (3,2):
  • Elemento (3,3):
Portanto,

Passo 7

Vamos verificar se é simétrica ou antissimétrica.
  • Matriz Simétrica:
  • Matriz Antissimétrica:
Calculando a transposta de :
Como , a matriz é simétrica.

Passo 8

Por fim, vamos calcular o determinante de , . Para uma matriz :
Substituindo os valores de :
Portanto, o determinante de é 0.

Resposta

A matriz é antissimétrica e a matriz é simétrica.

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