Dada a matriz , tal que matrizes em simétrica ou antissimétrica. Calcule det . Resp:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de ordem onde os elementos são definidos de acordo com algumas condições. Nosso objetivo é:
Calcular (onde é a transposta de ).
Calcular .
Classificar essas matrizes como simétricas ou antissimétricas.
Calcular o determinante de .
Para isso, vamos precisar entender como construir a matriz , como tirar a transposta dela, realizar as operações de subtração e multiplicação de matrizes, além de saber o que significa uma matriz ser simétrica ou antissimétrica. Também vamos usar a fórmula do determinante para matrizes .
Passo 2
Primeiro, vamos construir a matriz com base nas condições dadas:
Vamos montar a matriz elemento por elemento:
Para :
:
: então
: então
Para :
: então
:
: então
Para :
: então
: então
:
Assim, a matriz fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a transposta de , que é . A transposta de uma matriz é obtida trocando as linhas pelas colunas. Então, temos:
Passo 4
Vamos calcular . Para isso, subtraímos cada elemento de do respectivo elemento de :
[
A - A^{t} =
=
]
Simplificando:
Passo 5
Vamos analisar se é simétrica ou antissimétrica.
Matriz Simétrica:
Matriz Antissimétrica:
Vamos verificar a antissimetria:
Como , a matriz é antissimétrica.
Passo 6
Agora, vamos calcular . A multiplicação de duas matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz.
Vamos calcular cada elemento:
Elemento (1,1):
Elemento (1,2):
Elemento (1,3):
Elemento (2,1):
Elemento (2,2):
Elemento (2,3):
Elemento (3,1):
Elemento (3,2):
Elemento (3,3):
Portanto,
Passo 7
Vamos verificar se é simétrica ou antissimétrica.
Matriz Simétrica:
Matriz Antissimétrica:
Calculando a transposta de :
Como , a matriz é simétrica.
Passo 8
Por fim, vamos calcular o determinante de , . Para uma matriz :