Dada a matriz A, tal que ai, j= 0 & se i=j 1 & se j matrizes em simétrica ou antissimétrica. Calcule det (A). Resp: A-A^t=[ccc0 & -2 & -2 2 & 0 & -2 2 & 2 & 0] A cdot A^t=[ccc2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de ordem onde os elementos são definidos de acordo com algumas condições. Nosso objetivo é:
  1. Calcular (onde é a transposta de ).
  2. Calcular .
  3. Classificar essas matrizes como simétricas ou antissimétricas.
  4. Calcular o determinante de .
Para isso, vamos precisar entender como construir a matriz , como tirar a transposta dela, realizar as operações de subtração e multiplicação de matrizes, além de saber o que significa uma matriz ser simétrica ou antissimétrica. Também vamos usar a fórmula do determinante para matrizes .

Passo 2

Primeiro, vamos construir a matriz ai,j = 0 & se i = j 1 & se j < i -1 & se i < j com base nas condições dadas:
A = 0 & -1 & -1 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0
Vamos montar a matriz elemento por elemento:
  • Para :
    • :
    • : então
    • : então
  • Para :
    • : então
    • :
    • : então
  • Para :
    • : então
    • : então
    • :
Assim, a matriz fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a transposta de A^t = 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 -1 & -1 & 0 , que é . A transposta de uma matriz é obtida trocando as linhas pelas colunas. Então, temos:

Passo 4

Vamos calcular A - A^t = 0 & -1 & -1 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 - 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 -1 & -1 & 0 = 0-0 & -1-1 & -1-1 1-(-1) & 0-0 & -1-1 1-(-1) & 1-(-1) & 0-0 . Para isso, subtraímos cada elemento de A - A^t = 0 & -2 & -2 2 & 0 & -2 2 & 2 & 0 do respectivo elemento de :

[
A - A^{t} =


=
]
Simplificando:

Passo 5

Vamos analisar se (A - A^t)^t = 0 & 2 & 2 -2 & 0 & 2 -2 & -2 & 0 = - 0 & -2 & -2 2 & 0 & -2 2 & 2 & 0 = - (A - A^t) é simétrica ou antissimétrica.
  • Matriz Simétrica:
  • Matriz Antissimétrica:
Vamos verificar a antissimetria:
Como , a matriz é antissimétrica.

Passo 6

Agora, vamos calcular A cdot A^t = 0 & -1 & -1 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0 cdot 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 -1 & -1 & 0 . A multiplicação de duas matrizes é feita multiplicando as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz.
A cdot A^t = 2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 2
Vamos calcular cada elemento:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (1,3):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):
  • Elemento (2,3):
  • Elemento (3,1):
  • Elemento (3,2):
  • Elemento (3,3):
Portanto,

Passo 7

Vamos verificar se (A cdot A^t)^t = 2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 2 é simétrica ou antissimétrica.
  • Matriz Simétrica:
  • Matriz Antissimétrica:
Calculando a transposta de :
Como , a matriz é simétrica.

Passo 8

Por fim, vamos calcular o determinante de det(A) = a1,1(a2,2a3,3 - a2,3a3,2) - a1,2(a2,1a3,3 - a2,3a3,1) + a1,3(a2,1a3,2 - a2,2a3,1) , det(A) = 0(0 cdot 0 - (-1) cdot 1) - (-1)(1 cdot 0 - (-1) cdot 1) + (-1)(1 cdot 1 - 0 cdot 1) . Para uma matriz = 0(0 - (-1)) - (-1)(0 - (-1)) + (-1)(1 - 0) :
= 0(1) - (-1)(1) + (-1)(1)
Substituindo os valores de = 0 + 1 -1 = 0 :
Portanto, o determinante de é 0.

Resposta

A - A^t = 0 & -2 & -2 2 & 0 & -2 2 & 2 & 0 , A cdot A^t = 2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 2 , det(A) = 0
A matriz é antissimétrica e a matriz é simétrica.

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