Dada a matriz , tal que matrizes em simétrica ou antissimétrica. Calcule det (A). Resp: A-A^t=[ccc0 & -2 & -2 2 & 0 & -2 2 & 2 & 0] A cdot A^t=[ccc2 & 1 & -1 1 & 2 & 1 -1 & 1 & 2]
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz de ordem onde os elementos são definidos de acordo com algumas condições. Nosso objetivo é:
Calcular (onde é a transposta de ).
Calcular .
Classificar essas matrizes como simétricas ou antissimétricas.
Calcular o determinante de .
Para isso, vamos precisar entender como construir a matriz , como tirar a transposta dela, realizar as operações de subtração e multiplicação de matrizes, além de saber o que significa uma matriz ser simétrica ou antissimétrica. Também vamos usar a fórmula do determinante para matrizes .
Passo 2
Primeiro, vamos construir a matriz ai,j = 0 & se i = j 1 & se j < i -1 & se i < j com base nas condições dadas:
A = 0 & -1 & -1 1 & 0 & -1 1 & 1 & 0
Vamos montar a matriz elemento por elemento:
Para :
:
: então
: então
Para :
: então
:
: então
Para :
: então
: então
:
Assim, a matriz fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a transposta de A^t = 0 & 1 & 1 -1 & 0 & 1 -1 & -1 & 0 , que é . A transposta de uma matriz é obtida trocando as linhas pelas colunas. Então, temos: