Resolva os sistemas lineares usando o método da eliminaçũo de Gauss.
(a) l-x+y-2 z=-9 2 x+y+z=6 -2 x-2 y+z=1 Resp: X=[c2 -1 3]

Passo 1

Beleza! A gente tem um sistema de equações lineares aqui, com três variáveis: , e . O conteúdo que vamos usar é o método de eliminação de Gauss, que ajuda a resolver sistemas de equações transformando-os em uma forma mais simples. Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
- x + y - 2z = -9 2x + y + z = 6 -2x - 2y + z = 1
Nosso objetivo é eliminar uma variável para facilitar a resolução. Vamos começar eliminando o .

Passo 3

Para eliminar o 2(-x + y - 2z) = 2(-9) Rightarrow -2x + 2y - 4z = -18 , podemos multiplicar a primeira equação por 2 e somar com a segunda equação:
(-2x + 2y - 4z) + (2x + y + z) = -18 + 6 Rightarrow 3y - 3z = -12
Agora, somamos com a segunda equação:
y - z = -4 (Equação 4)
Simplificando:
çã

Passo 4

Ainda queremos eliminar o -2(-x + y - 2z) = -2(-9) Rightarrow 2x - 2y + 4z = 18 . Vamos multiplicar a primeira equação por -2 e somar com a terceira equação:
(2x - 2y + 4z) + (-2x - 2y + z) = 18 + 1 Rightarrow -4y + 5z = 19
Somando com a terceira equação:
-4y + 5z = 19 (Equação 5)
Simplificando:
çã

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
y - z = -4 (Equação 4) -4y + 5z = 19 (Equação 5) çãçã
Vamos resolver para uma das variáveis. Da Equação 4:
y = z - 4
Substituindo esse valor na Equação 5:
-4(z - 4) + 5z = 19 -4z + 16 + 5z = 19 z + 16 = 19 z = 3

Passo 6

Com y = 3 - 4 y = -1 , substituímos na Equação 4 para encontrar :

Passo 7

Agora que temos - x + (-1) - 2(3) = -9 - x -1 -6 = -9 - x -7 = -9 - x = -2 x = 2 e , substituímos esses valores na primeira equação original para encontrar :

Resposta

X = 2 -1 3

Exercícios relacionados